מקבילון

מקבילון שפאותיו מקביליות

בגאומטריה של המרחב, מקבילון הוא פאון תלת-ממדי בן שש פאות, שכולן מקביליות. הפאות מסודרות בשלושה זוגות, כאשר הפאות השייכות לאותו זוג מקבילות וחופפות אחת את רעותה. למקבילון יש 8 קודקודים ו-12 מקצועות. הפאות המקבילות מאפשרות לרצף את המרחב בעותקים חופפים של אותו מקבילון.

תיבה, מעוינון או קובייה הם מקרים פרטיים של מקבילון, שבו כל המקביליות הן מלבנים, מעוינים או ריבועים בהתאמה.

מקבילונים אפשר לקבל מעיוות הצלעות של קובייה, העשוי לשנות את אורכן והזוויות ביניהן (תוך שמירה על יחס ההקבלה בין צלעות מקבילות). מבחינה פורמלית, עיוות כזה מתקבל מהפעלת העתקה ליניארית של המרחב האוקלידי התלת-ממדי, על קובייה שאורך צלעותיה 1; נפח המקבילון שווה לדטרמיננטה של ההעתקה.

נפח המקבילון שווה גם לשטח הבסיס שלו כפול הגובה. כל אחת מפאות המקבילון יכולה להילקח כבסיס, והגובה הוא אורך האנך מהבסיס לפאה שמולו.

חבורת הסימטריה ומקבילונים מיוחדים

למקבילון כללי אין סימטריות לא טריוויאליות. לעומת זאת, לקובייה, שהיא מקבילון שפאותיו ריבועים, יש חבורת סימטריות בת 24 איברים. התכולה המדויקת של חבורת הסימטריה משרה תכונות גאומטריות שונות על המקבילון, ולכן מקובל למיין את המקבילונים למשפחות לפי המבנה של חבורה זו. ישנן שבע משפחות:

1. קובייה, הסימטרית ביותר, עם 24 סימטריות.
2. תיבה ריבועית (תיבה שלה זוג פאות מקבילות שצורתן ריבועית) - 8 סימטריות.
3. תיבה שאינה ריבועית - 4 סימטריות (חבורת הארבעה של קליין).
4. מעוינון (רומבוהדרון) משוכלל, שהוא מקבילון שכל פאותיו מעוינים חופפים (ואינו קובייה) - 6 סימטריות.
5. מנסרה מעוינית ישרה, שהיא מקבילון עם ארבע פאות מלבניות ובסיסה מעוין - 4 סימטריות (חבורת הארבעה של קליין).
6. מקבילון בעל פאה מעוינת, שאלכסונה מונח מתחת לצלע שמחוץ לפאה - 2 סימטריות (עם ציר קבוע).
7. מנסרה מקבילונית ישרה, שהיא מקבילון עם ארבע פאות מלבניות ובסיסה מקבילית - 2 סימטריות (ללא ציר קבוע).
8. מקבילון ללא התכונות המיוחדות שנמנו לעיל - סימטריה יחידה.

מיון המקבילונים למשפחות

אם מזיזים את מרכז המסה של המקבילון לנקודת הראשית של המרחב, קודקודיו תופסים את שמונה הנקודות $\ \pm {\vec {a}}\pm {\vec {b}}\pm {\vec {c}}$, כאשר $\ 2{\vec {a}},2{\vec {b}},2{\vec {c}}$ הם וקטורי הצלעות של המקבילון. במקבילון כללי, יש לכל זוג קודקודים מנוגדים מרחק אחר מן הראשית, ולכן חייבת כל סימטריה להעביר קודקוד לעצמו, או אל הקודקוד המנוגד לו. האפשרות הראשונה לא תיתכן, משום שאז תוכרח הסימטריה להחליף את שלושת הקודקודים הסמוכים בינם לבין עצמם, אך אורכי הצלעות (עשויים להיות) שונים זה מזה. גם האפשרות השנייה לא תיתכן, משום שמבני הזויות המרחביות בשני קודקודים מנוגדים מהווים שיקוף זה של זה, כמו האגודל, האצבע והאמה של יד ימין לעומת אלו של יד שמאל. מסיבות אלה, חבורת הסימטריות המרחביות של מקבילון כללי היא טריוויאלית (וכוללת את הפעולה 'אל תעשה דבר', ותו לא).

למקבילונים בעלי תכונות מיוחדות יכולות להיות סימטריות נוספות. המקרה הקיצוני הוא זה של הקובייה, שיש לה 24 סימטריות: כאשר בוחרים קודקוד, יש שמונה קודקודים אליהם אפשר להעביר אותו, ולאחר בחירת המטרה אפשר לבחור אחת משלוש דרכים לסובב את הקובייה במקומה. חבורת הסימטריות של הקובייה היא החבורה הסימטרית מסדר 4, שאותה אפשר לראות כאילו היא פועלת על ארבעת האלכסונים הראשיים. בכל אלכסון יש עדיין צורך לקבוע את הכיוון - אך בפועל מתברר שמקומותיהם של ארבעת האלכסונים מכתיבים באופן חד משמעי גם את הכיוונים של כל אחד מהם, ואת מצבה של הקובייה כולה.

דיאגרמה של תת-החבורות של החבורה הסימטרית $\ S_{4}$ - עותק אחד מכל מחלקת צמידות של תת-חבורות.

חבורת הסימטריות של כל מקבילון מוכרחה להעביר אלכסונים ראשיים לאלכסונים ראשיים. משום כך, חבורת הסימטריות היא תמיד תת חבורה של החבורה הסימטרית $\ S_{4}$, והסימטריות מטילות אילוצים שונים על צלעות המקבילון וזוויותיו. תת-החבורות מופיעות בתרשים משמאל, אלא שכמה מהן אינן יכולות להיות חבורות סימטריה של מקבילונים, מסיבות שונות.

חבורת סימטריות טרנזיטיבית

נניח שחבורת הסימטריה של מקבילון היא טרנזיטיבית בפעולתה על ארבעת האלכסונים (בתרשים, אלה החבורות $\ C_{4},K_{4},D_{4},A_{4},S_{4}$). במקרה כזה מוכרחים האלכסונים להיות שווי-אורך, וכך נמצאים כל קודקודי המקבילון במרחק שווה ממפגש האלכסונים (שהוא מרכז המסה של המקבילון), כלומר, קודקודי המקבילון מצויים על כדור (שמרכזו במרכז המסה). מכיוון שמישור העובר דרך כדור חותך ממנו מעגל, נובע מכאן שכל הפאות חסומות במעגל - וכל מקבילית כזו היא מלבן.

מכאן שמקבילון בעל חבורת סימטריה טרנזיטיבית מוכרח להיות תיבה. תיבה אפשר לסובב מחצית הסיבוב סביב כל אחד משלושה הצירים המאונכים לפאות - ולכן חבורת הסימטריה שלה מכילה את חבורת הארבעה של קליין, $\ K_{4}$; כך נשארו ארבע אפשרויות: $\ K_{4}$ (מסדר 4), החבורה הדיהדרלית $\ D_{4}$ (מסדר 8), חבורת התמורות הזוגיות $\ A_{4}$, והחבורה $\ S_{4}$ כולה. המקרה השלישי נפסל, משום שעל-פי הסעיף הבא, קיומה של סימטריה מסדר 3 מחייב את התיבה להיות קובייה.

1. חבורת הסימטריות של הקובייה היא $\ S_{4}$, מסדר 24.
2. חבורת הסימטריות של תיבה ריבועית (זוג פאות מקבילות הן ריבועים) היא $\ D_{4}$, מסדר 8.
3. חבורת הסימטריות של תיבה שאינה ריבועית היא $\ K_{4}$, מסדר 4.

חבורת סימטריות עם איבר מסדר 3

בכל פעולה מסדר 3 על ארבעה עצמים, אחד מהם נשאר במקומו, בעוד שהאחרים מוחלפים במעגל. במקבילון עם סימטריה כזו, נשאר אחד האלכסונים הראשיים במקומו, ושלושת האחרים מוחלפים. בפעולה שסדרה אי-זוגי, מוכרחים גם שני הקודקודים שעל האלכסון הקבוע להישאר במקומם, ולכן הפעולה מסובבת את המקבילון סביב אותו אלכסון. פעולה כזו מחליפה באופן מעגלי שלושה קודקודים שכנים, ולכן אורכי הצלעות המתאימים צריכים להיות שווים, וכל פאות המקבילון הן מעוינים. גם הזויות מוחלפות זו בזו, ולכן המעוינים כולם חופפים.

אורכו של האלכסון הקבוע בפעולת הסיבוב שונה מזה של שלושת האחרים (השוים זה לזה באורכם), והוא עשוי להיות ארוך מהם (כאשר המעוינים נפגשים באחד הקודקודים בזוויותיהם החדות), או קצר מהם (כאשר המעוינים נפגשים בזוויותיהם הקהות); האלכסונים אינם יכולים להיות שוים באורכם, אלא אם המקבילון הוא קובייה.

במקבילון שכל פאותיו מעוינים אפשר לבצע גם פעולה מסדר 2, ההופכת את האלכסון השונה ועוד אלכסון אחד, ומחליפה בין האלכסונים הנותרים. יחד יש לו שש סימטריות:

4. חבורת הסימטריות של מקבילון (שאינו קובייה) שכל פאותיו מעוינים חופפים היא $\ S_{3}$, מסדר 6.

סימטריות מסדר 2

לפי מיון תת-החבורות של $\ S_{4}$, נותרו ארבע חבורות אפשריות: חילוף בודד של שני אלכסונים (החבורה המסומנת ב- $\ C_{2}$ בימין התרשים); מכפלה של שני חילופים (החבורה המסומנת ב- $\ C_{2}$ בשמאל התרשים); חבורה הכוללת שני חילופים ומכפלתם (וביחד ארבעה איברים, $\ C_{2}\times C_{2}$, כלומר חבורת הארבעה של קליין); והחבורה הטריוויאלית.

חילוף של שני אלכסונים המותיר שני אלכסונים אחרים במקומם, אפשרי רק כאשר שתי צלעות בעלות קודקוד משותף הן שוות-אורך (כך שהפאה שהן מגדירות היא מעוין), והזויות בין הצלע השלישית באותו קודקוד לבין שתי הצלעות הראשונות, שוות זו לזו. במקרה זה ניתן להחליף בין שני האלכסונים האחרים, רק אם הצלע השלישית מאונכת לפאה כולה, וכך מתקבלות שתי חבורות הסימטריה:

5. חבורת הסימטריה של מקבילון שארבע פאותיו מלבניות ושתי האחרות מעוינות היא $\ C_{2}\times C_{2}$, נוצרת על ידי שני חילופים, מסדר 4.

6. חבורת הסימטריה של מקבילון שאחת מפאותיו היא מעוין שאלכסונו שווה להיטל אחת הצלעות, נוצרת על ידי חילוף (מסדר 2).

חילוף בו-זמני של שני זוגות אלכסונים מותיר את הכיוון של צלע אחת במקומה, והופך את כיווני שתי הצלעות האחרות. פעולה זו אפשרית רק אם הזווית בין הצלע הנותרת והצלעות המתהפכות היא ישרה; ואז יש למקבילון ארבע פאות מלבניות.

7. חבורת הסימטריה של מקבילון עם ארבע פאות מלבניות (כאשר האחרות אינן מעוינות), נוצרת על ידי מכפלת שני חילופים (מסדר 2).

8. חבורת הסימטריה של מקבילון ללא התכונות המיוחדות שנמנו לעיל, אינה כוללת אף סימטריה לא טריוויאלית.

קישורים חיצוניים

• מקבילון, באתר MathWorld (באנגלית)