Aljebr

aljebr

area of mathematics, mathematical theory

Iskevrennad eus	area of mathematics
Rann eus	matematik
Anvet diwar	Levr berr ar jedoniezh dre an destrizh hag ar c'heñveriañ
Istor	istor an aljebr
Pleustret gant	algebraist
Classification of Instructional Programs code	27.0102
Tikedenn Stack Exchange	https://math.stackexchange.com/tags/algebra, https://matheducators.stackexchange.com/tags/algebra

Kentel latin levr Diofantus (III^de k.),
bet embannet e 1621

An aljebr eo ar skourr eus ar jedoniezh a bled gant hollekaat an oberiadurioù war an niveroù a-benn diskoulmañ ataladoù.

Ent-klasel ez eo an aljebr un hollekadur eus an niveroniezh, hag un astenn dezhi, pa seller outañ evel damkaniezh an oberiadurioù war an niveroù real (muiel, leiel) pe gemplezh, damkaniezh an diskoulmañ kevatalennoù dre erlerc'hiañ lizherennoù ouzh an talvoudoù niverel, ha damkaniezh an erlerc'hiañ formulennoù hollek ouzh ar jediñ oberadurioù dibarek.

Abaoe deroù an XX^vet kantved e c'haller termeniñ an aljebr en un doare arall : ur rann eus ar jedoniezh eo he fal studiañ, diwar aksiomennoù, lezennoù an aozañ un teskad hag an darempredoù etre meur a deskad a dermen ur framm.

A-feur ma 'z ae al labourioù war-raok ez eus bet termenet skourroù nevez d'an aljebr : unan anezho eo aljebr Boole, a c'hanas ar stlenneg ha neuze an urzhiataerioù.

Pleustrek e oa an aljebr e deroù e istor, pa dalveze da jediñ gorreadoù ha sammadoù moneiz da skouer ; difetisoc'h-difetisañ eo deuet da vout, hogen daoust d'an darn vuiañ eus an dud bout dic'houest da gompren an aljebr a-vremañ e reont bemdez gant binvioù a zo bet krouet a-drugarez d'an diskiblezh-se, eus ar c'heflusker dre enleskiñ betek ar pellgomzerioù hezoug a anver smartphones – "pellgomzerioù speredek" – er bed a-bezh, na vefent ket kel lemm-se hep an aljebrourion.

Gerdarzh

Eus an arabeg الجَبْر al-jebr "diren (un torr)" ha "destrizh" e teu ar ger, a zo deuet da vout etrebroadel pe dost – kement hag "erlerc'hiañ ouzh un niver" e talv ar ger sinaek 代数 dài shù evit "aljebr", da skouer. E deroù an XVIII^vet kantved ez eo testeniekaet ar stumm brezhonek,diwar ar galleg algèbre, bet kemeret diwar al latin algebra e dibenn ar XIV^vet kantved.

Istor

Papiruz Rhind

Hir eo istor an aljebr, pa gaver roudoù anezhañ e sevenadur Sumer adalek 2300 K.J-K.

En Henamzer dija e oa un doare damkaniezh ar c'hevatalennoù, hep na vefe eus ar ger, a veze diskoulmet dre hentennoù mentoniel, da lavaret eo nann-jedoniel. E Babilon hag en Henegipt e ouied diskoulmañ kudennoù pleustrek a c'haller treiñ e kevatalennoù kentañ pe eil derez. Papiruz Rhind zo ur skrid jedoniezh bet savet e marevezh ar faraon Apopi war-dro ar bloavezh 1650 K.J-K.

En India an eil kantved K.J-K. e voe embannet ul levr jedoniezh gant Jained, Sthānāṅgasūtra, ma 'z eus kevatalennoù eeun, reoù eil derez ha reoù trede derez.

E Sina an dierniezh Zhou (1122-256 K.J-K.) emañ gwrizioù ur skrid anvet 九章算術 jiǔ zhāng suàn shù "Nav fennad diwar-benn arz ar jediñ" a voe kendastumet gant rummadoù gouezeion betek deroù amzervezh an dierniezh Han (206 K.J-K.-220) ; en eizhvet pennad ez eus un doare da ziskoulmañ kevatalennoù linennek.

En III^e kantved ez ijinas ar jedoniour gresian Diofantos Aleksandria (~200-~284) un doare nevez da ziskoulmañ kevatalennoù polinomel meur a zianavenn enno, a anver "Kevatalennoù Diofantos" hiziv c'hoazh ; "tad an aljebr" a vez graet anezhañ alies.

Ur bajenn eus levr Al-Khwārizmī

En VIII^vet kantved e voe staliet ar c'hevatalennoù da vat gant ar jedoniour persian Abū ʿAbdallāh Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (~781-~847) en e levr 'الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala "levr ar jedoniezh dre an destrizh hag ar c'heñveriañ", deuet er gouloù etre ar bloavezhioù 813 ha 833, ma studi an diskoulmañ kevatalennoù kentañ hag eil derez.
A-drugarez da Al-Khwārizmī e voe skignet arver ar mann indian er jedoniezh, a voe degaset en Europa ar Grennamzer gant ar pab Jelvestr II, ar pezh a gasas implij an abakennoù da get tamm-ha-tamm hag a glotaas an aljebr dre arver an algoritmoù – deveret diouzh al-Khwārizmī eo ar gerioù latin algorismus, saoznek algorithm ha gallek algorithm e gwirionez, adalek 1200-1250 e saozneg hag adalek 1554 e galleg.

En XI^vet kantved e kavas ar Persian Omar C'hayyam (1048-1131) un doare da ziskoulmañ ar c'hevatalennnoù trede derez. War-lerc'h labourioù ar Bersaned c'hoazh, ar jedoniour italian Leonardo Pisano Fibonacci (~1170-~1250) a zegasas ar sifroù arabek, an niveradur dekvedennel hag an notadur aljebrel en Europa.

Kentañ ar ver an arouzennoù + ha -

Displegadenn arver an arouezenn =

Ar c'hentañ kevatalenn biskoazh,
skrivet gant R. Recorde
14x + 15 = 71
(x = 4 eo an diskoulm)

E 1489 ez eo testeniekaet an arouezennoù + ha – el levr Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft "Aritmetik prim ha brav evit ar genwerzhourion" gant an Alaman Johannes Widmann (~1460-~1500).

E 1524 e voe embannet ar pleustrad Coß gant an Alaman Adam Ries (pe Riese, 1492-1559), ma arveras an arouezenn √, un distummadur eus pennlizherenn radix, evit aroueziañ gwrizienn garrez un niver.

E 1557 e voe degaset an aljebr hag an arouezenn + er Rouantelezh-Unanet gant ar C'hembread Robert Recorde (~1512-1558), a voe an den kentañ oc'h ober gant an arouezenn = en e skrid The Whetstone of Witte "Higolenn ar spered" evit treuzskrivañ ur gevatalenn.
El levr anvet Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas "Embreg arz an dielfennañ dre gevatalennoù aljebrel diskoulmet" gant ar jedoniour saoz Thomad Harriot (~1560-1621) eo e teuas war wel an arouezennoù < ("bihanoc'h eget") ha > ("brasoc'h eget"). Den ne oar ha gant T. Harriot e oant bet ijinet, pe lakaet el levr gant an embanner evit splanaat ar skrid.

Adalek ar pleustrad Isagoge in artem analyticum "An nor ag an arz da zielfennañ" bet embannet e Tours e 1591 gant ar Gall François Viète (1540-1603), a ijinas erlerc'hiañ niveroù ouzh lizherennoù, e voe damkaniezh ar c'hevatalennoù ur skourr eus ar jedoniezh.
En embannadurioù goude ez ouzhpennas ur stagadenn anvet Logistice speciosa "Arzoù heneuz ar poellata" ma tisplegas an oberadurioù diazez hag an doare da sevel binomoù d'ar c'hwec'hvet galloudad, hag un eil stagadenn anvet Zetetica "Skiant ar poelladennoù" ma teskrivas an doare da ziskoulmañ kevatalennoù.

Nebeud goude, e 1631, e voe degaset x evit aroueziañ al lieskementiñ gant ar Saoz William Oughtred (1574-1660) e Clavis Mathematicae "Alc'hwez ar jedoniezh", kevret gant an arouezenn ± hag al lizherenn π evit aroueziañ ar feur etre tro-gelc'h ha treuzkiz ur c'helc'h. E 1659 e voe implijet * el lieskementadenn a * b gant ar jedoniour Suis Johann Heinrich Rahn (1622-1676) en e levr Teutsche Algebra "Aljebr alaman" ; gant an obelus ÷ e rae evit ar rannañ, koulz ha gant an arouezenn ∴ evit "neuze".

Gant ar jedoniour gall René Descartes (1596-1650) e voe divizet ober gant galloutaerioù e-lec'h ar berradurioù A quadr pe A cub a veze arveret gant François Viète evit notañ 5² = 25 pe 5³ = 125, da skouer.
Tamm-ha-tamm e voe arveret niveroù derc'hel evel √–1 evit dont a-benn da jediñ gwriziennoù nann-real ar c'hevatalennoù.

En XVIII^vet kantved e voe kaset an aljebr war-raok, gant ar Saoz Isaac Newton (1643-1727) hag an Alaman Gottfried Leibniz (1646-1716) pergen, war tachenn ar c'hevreizhennoù hag ar jediñ borc'hedel.

En XIX^vet kantved e voe ganet an aljebr arnevez a-drugarez d'ur Gall arall, Évariste Galois (1811-1832), a ijinas diskoulmañ kevatalennoù dre wriziennoù n-vet.
Évariste Galois ivez e voe ar jedoniour a zegasas keal ar strolloù en aljebr, da lavaret eo strolladoù niveroù a zo bodet hervez ul lezenn diabarzh, un elfenn neptu hag un elfenn simetrek, da skouer : stroll an niveroù anterin relativel ℤ (..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...).
A-drugarez da zegasadennoù Évariste Galois e voe aesaet a-galz an diskoulmañ kevatalennoù eil, trede ha pevare derez, hogen dic'hallus e chomas diskoulmañ ar re bempvet derez ; ar galloudadoù rannel a voe ijinet neuze.

Adal neuze voe graet jedadennoù war traezoù n'int ket niveroù dre ret : e 1843 e voe kavet ar pernionoù (i² = j² = k² = ijk = –1) gant an Iwerzhonad William Rowan Hamilton (1805-1865) ; ar Saoz Georges Boole (1815-1864) a ijinas e aljebr e 1847, a zo un diazez d'ar jedoniezh elektronek ; ar Saozon Arthur Cayley (1821-1895) ha James Joseph Sylvester (1814-1897), harpet gant W.R. Hamilton, a studias ar matrisoù er bloavezhioù 1850 ha deveret diouzh o labour e vo goulevioù ar stlenneg ; an Alaman Ernst Kummer (1810-1893) a ziazezas damkaniezh aljebrel an niveroù.

E deroù an XX^vet kantved e voe lakaet ar boelloniezh hag an aksiomennoù da zodennoù pennañ an aljebr gant ar Gall Henri Poincaré (1854-1912) hag an Alaman David Hilbert (1862-1943).
Diorroet ha klokaet e voe damkaniezh ar strolloù war-dro ar bloavezh 1910 ha hentennoù jediñ a zigoras an hent da c'houleverezh an urzhiaterioù.
Difetisoc'h-difetisañ e teuas an aljebr a-c'houde labourioù an Aostrian Emil Artin (1898-1962) war korf an niveroù aljebrel.
Er bloavezh 1942 ez embannas ar strollad jedoniourion c'hall Nicolas Bourbaki e studiadennoù kentañ a-zivout an aljebr e korf e levr Élements de mathématique, a vez hizivaet c'hoazh a vare da vare.

Diazezoù an aljebr

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

Diskoulm ar gevatalenn ax2 + bx + c = 0

Kalz tud ne ouzont netra eus ar jedoniezh en tu arall d'an aritmetik : an niveroù anterin 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... hag an oberiadurioù +, –, x, ÷ a vez implijet bemdez.
En aljebr e reer gant lizherennoù evit aroueziañ an niveroù a c'hall kemmañ : argemmennoù eo al lizherennoù a, b, ..., n, ..., x, y, z pa c'hallont aroueziañ forzh pe niver ; x, y, z a implijer peurliesañ evit an niveroù dianav, an dianavennoù.

Ur skouer eeun evit displegañ pegen aesoc'h e vez jediñ dre an aljebr eget dre an aritmetik : petra eo sammad an holl niveroù adalek $1$ betek $20$ ?

• Dre an arithmetik : $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=210$
• Dre an aljebr : goulennet ez eus jediñ sammad an holl niveroù adalek $1$ betek $n=20$ ; aes eo ! $n(n+1) \over 2$ eo an disoc'h, neuze ez eo an hanter eus $20*21=420$, da lavarout eo $210$.

Splet bras an aljebr zo diskouezet amañ : talvezout a ra an doare evit forzh pe niver $n$ : mard eo $n=197$, an disoc'h zo $19503$ — kaskit jediñ dre an aritmetik 'ta !

Pennaennoù

Niveroù leiel ha niveroù muiel

Pa vez roet ur vent a c'haller meizañ dre zaou ster ne c'hall ket an niveroù aritmetek termeniñ ar ster a zere ; da skouer :

1. 50 €, rak disheñvel diouzh dleout 50 € eo gounit 50 € ;
2. 50 km, rak disheñvel diouzh bout 50 km a-raok Pariz pa 'z eer a Vrest da Bariz eo bout 50 km goude Pariz pa 'z eer a Bariz da Straßburg.

Evit diskoulmañ ar gudenn-se o deus an aljebrourien divizet ijinañ ul linenn eeun, didermen a bep tu d'an niver 0 o deus lakaet en he c'hreiz. Un tuadur o deus roet d'al linenn-se : peogwir e skrivomp-ni a gleiz da zehou e vo tuet al linenn a gleiz da zehou amañ ivez. Ur sturiadell a reer en aljebr eus hevelep eeunenn duet. Penaos e vo skrivet ar mentoù "50 €" ha "50 km" war an eeunenn-se neuze ?

1. Dereziet en euroioù e vo al linenn ; 50 derez a-gleiz da 0 e vo lakaet an niver 50 evit aroueziañ "dleout 50 €", ha 50 derez a-zehou da 0 e vo lakaet an niver 50 ivez evit aroueziañ "gounit 50 €". Kement hag "euro ebet" e talvez 0 en degouezh-mañ.
2. Dereziet e kilometroù e vo al linenn ; 50 derez a-gleiz da 0 e vo lakaet an niver 50 evit aroueziañ "bout 50 km a-raok Pariz pa 'z eer a Vrest da Bariz", ha 50 derez a-zehou da 0 e vo lakaet an niver 50 ivez evit aroueziañ "bout 50 km goude Pariz pa 'z eer a Bariz da Straßburg". Kement ha "Pariz" e talvez 0 en degouezh-se.

Da niveroù aljebrel eo troet ar pevar niver 50 goude bout bet lakaet war al linenn duet. Leiel eo an holl niveroù a zo a-gleiz da 0 ha muiel eo an holl re a zo a-zehou dezhañ ; na leiel na muiel eo 0. Dre an arouez "–" ("nemet") e verker an niveroù leiel, a zo bihanoc'h eget 0, dre an arouez "+" ("mui") e verker an niveroù muiel, a zo brasoc'h eget 0 : –50 < 0 < +50 neuze.

1. A gleiz da zehou e vo –50 (dleout 50 €), 0, +50 (gounid 50 €).
2. A gleiz da zehou ivez e vo -50 (50 km a chom kent erruout e Pariz), 0, +50 (50 km zo bet dibunet adalek Pariz).

Evel-se neuze ez eo sklaeroc'h pep keloù, resisoc'h ar mentoù, hag e c'haller ober jedadennoù difazi war an niveroù-se pa ouzer o zalvoudegezh relativel e-keñver an niver 0 :

1. pa 'z eus 50 € war ur gont-bank e sav ar sammad da 100 € mar gounezer 50 € (daougementet eo ar peadra) ; mard eus un toull a 50 € er gont ha mar dleer 50 € ouzhpenn ez eo daougementet an toull ;
2. mard eer a Vrest da Straßburg (591 km a Vrest da Bariz, 488 km a Bariz da Straßburg, 1 079 km en holl), -50 a dalvez ez eus bet dibunet 541 km hag e chom 538 km, hanter hent neuze, pa dalvez +50 ez eus bet dibunet 641 km (kant ouzhpenn) hag e chom 438 km (kant nebeutoc'h) da zibunañ.

Talvoud dizave

An niver aritmetek 50 a skriver "|50|" evit merkañ talvoud dizave an niveroù relativel –50 ha +50.
En aritmetik e vez kevatal daou niver pa vezont skrivet heñvel : 50 = 50 ; en aljebr avat e vezont kevatal p'o devez an hevelep talvoud dizave hag an hevelep tuadur, leiel pe vuiel : –50 = –50, +50 = +50, met disheñvel diouzh -50 eo +50 daoust dezho kaout an hevelep talvoud dizave |50| rak daou gementad disheñvel a aroueziont, hag un diforc'h a 100 zo etre an daou niver.
Pa sammer daou niver relativel e ranker teurel pled d'o zalvoudoù dizave ha d'o arouezennoù :

• p'o deus an daou niver an hevelep arouezenn ez eo o sammad an niver eo e dalvoud dizave ar sammad eus an talvoudoù dizave, gant an arouezenn a zo boutin : (+50) + (+100) = (+150) ;
• p'o deus an daou niver arouezennoù disheñvel ez eo o sammad an niver eo e dalvoud dizave an diforc'h etre an talvoudoù dizave, gant arouezenn ar brasañ talvoud dizave : (+50) + (–100) = (-50).

Niveroù ha lizherennoù

A-drugarez da François Viète a c'haller erlerc'hiañ an niveroù ouzh lizherennoù. Spletus e meur a geñver eo ar bennaenn-se, pa dalvez da

• dermeniñ lezennoù an niveroniezh en un doare hollek, ha dre-se digeriñ an hent da studi reizhiadek an niveroù ;

pa skriver lezenn an eilpennadusted dindan ar stumm a + b = b + a e talvez evit an holl niveroù aroueziet gant a pe b, ha leiel pe vuiel e vefent ;

• ober dave da niveroù dianav dre sevel kevatalennoù ha studiañ an doareoù d'o diskoulmañ ; al lizherennoù x, y, z a dalvez da aroueziañ an dianavennoù ;

pe niver a ro 47 pa vez lieskementet dre 3 hag ouzhpennet 8 outañ ? Aes eo skrivañ : 3x + 8 = 47 ha kavout an diskoulm : x = (47 – 8) ÷ 3 = 13 ;

• studiañ kudennoù hollek hep ober dave da niveroù a vefe anavezet en ur gudenn dibarek ;

pe c'hounid a vo mar gwerzher kilogrammoù un danvez d'ur priz digemm ? Trawalc'h eo skrivañ ar formulenn G = px, m'emañ G ar gounid, p ar priz digemm ha x an niver a gilogrammoù a vo bet gwerzhet ;

• sevel kevreizhennoù jedoniel dre arverañ arouezioù evit an digemmennoù hag an argemmennoù ;

pe vuzad B a vo diwar adwerzhañ d'ur priz P un dra a zo bet prenet d'ur priz p ? Evit pep adwerzhadenn e vo B = Px - p ar gevatalenn, hag f(x) = Px - p ar gevreizhenn a lakaio ar gounid B da glotañ gant an niver x a draoù bet gwerzhet.

Jedadoù aljebrel

Freshman's Dream "Hunvre Freshman"

Displegadenn ar binom (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

x + y (= y + x) eo ment pep tu ar garrezenn. Sammad gorreadoù al lunioù melen (x2), gwer (y2) ha gris (2xy) eo gorread ar garrezenn (x + y)2.

Lizherennoù, niveroù hag arouezennoù arall (+, –, x, ÷, √ ...) a implijer en aljebr. Ur "jedad aljebrel" a reer neuze eus kement hollad lizherennoù ha niveroù kenstaget gant aouezennoù a diskouez an oberadurioù a zo da ober, evel : 3ax² – 7b.
Meur a zoare jedadoù aljebrel zo.

• Ur "monom" a reer eus ur jedad n'emañ nag an arouezenn + nag an arouezenn – ennañ, evel er jedad a√3 ÷ 2.
• Ur "polinom" a reer eus ur jedad meur a vonom ennañ :
  • ur "binom" a reer eus daou vonom a zo liammet dre an arouezennoù + pe –, evel er jedadoù a – b ha 5x³ + 4ab² ;
  • un "trinom" eo ax² + bx + c, tri monom ennañ.

Faktoreladur

Sammad aljebrel meur a vonom eo pep polinom eta, neuze n'eus ket ur polinom eus ar jedad (x – 3)(y + √2) : lieskementadur daou vonom eo, tra ken.
Dre faktoreladur ur polinom gwirion ez eur deuet a-benn da skrivañ al lieskementadur-se :

• xy + x√2 – 3y – 3√2 eo ar polinom ;
• merzout a reer emañ x o lieskementiñ y ha √2, hag emañ –3 o lieskementiñ y ha √2 ivez ;
• kement-se a zastumer er jedadoù x(y + √2) ha –3(y + √2) ;
• peogwir eo (y + √2) boutin d'an daou jedad e c'haller skrivañ ar jedad [x + (–3)](y + √2), ha neuze (x – 3)(y + √2).

Doareoù aljebroù

Meur a zoare aljebr zo bremañ, difetisoc'h-difetisañ ha kempleshoc'h-kemplesañ a-feur ma pellaer diouzh ar pennaennoù.
Setu amañ tri doare aljebr disheñvel, evit reiñ un alberzh eus emdroaur an diskiblezh.

Aljebr linennek

An "aljebr linennek", pe lieslinennek, eo ar skourr eus ar jedoniezh a bled gant ar sturiadelloù a-benn studiañ dilerc'hiadennoù en egorioù euklidian ur vent dezho (linnennoù), div vent dezho (plaenenn) pe deir ment dezho (an egor m'emaomp, betek-gouzout). Dre ar sturiadelloù e c'haller neuze ober jedadennoù gant an egorioù sturiadel.
Pelloc'h eget framm Euklides eo aet an aljebr linennek avat, pa vez graet jedadennoù en egorioù 4, 5, 6, n ment dezho, betek egorioù didermen niver o mentoù.
Da skouer, sturiadelloù eizhmentek a vez arveret en armerzh evit aroueziañ kenderc'h broadel kriz (KDK) eizh bro.
An aljebr linennek eo an diazez d'ar matrisoù ha d'ar stennadelloù.

Aljebr difetis

Gant meizadoù hollekoc'h eget aritmetik an niveroù hag an aljebr diazez e pled an aljebr difetis.

• Teskadoù : holladoù resis ag elfennoù diforc'h eo an teskadoù, evel niveroù, tud, lizherennoù, traezoù a bep doare, ha teskadoù zoken.

Dre bennlizherennoù e vez aroueziet an teskadoù ; kevatal an eil d'egile eo an teskadoù A ha B pan endalc'hont rik an hevelep elfennoù.

Ul liesad kartezian

• Oberadurioù binarel : da lavaret eo oberadurioù etre div elfenn a reer en teskadoù hag etre teskadoù. Lod a vez implijet bemdez (+, –, x, ÷), lod arall a vez dianavoc'h d'an dud, evel al liesadoù kartezian petra bennak ma c'haller kejañ outo bemdez, pa c'hoarier ar c'hartoù da skouer :

mard eo A an teskad { B, R, D, L, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }
ha B an teskad { ♠ pikez, ♦ karo, ♣ treflez, ♥ keur }
ez eo al liesad kartezian A x B an teskad { (B, ♠)...(2, ♠), (B, ♦)...(2, ♦), (B, ♣)...(2, ♣), (B, ♥)...(2, ♥) }, da lavaret eo ur c'hartoù 52 gartenn ennañ.

• Elfennoù neptu : en un teskad e reer "elfenn neptu" eus un elfenn na gemm ket un elfenn arall pa vez lakaet da oberiañ ganti dre unan eus lezennoù an teskad.

Da skouer, 0 eo an elfenn neptu evit ar sammañ niveroù (a + 0 = a), 1 eo an elfenn neptu evit al lieskementiñ (b x 1 = b).

• Elfennoù simetrek : pa voe divizet ober gant niveroù leiel e voe savet meizad an elfennoù simetrek ivez.

An elfenn –a eo elfenn simetrek a pa vez sammet, hag a + (–a) = 0, elfenn neptu ar sammañ ; an elfenn b^–1 eo elfenn simetrek b, ha b x b^–1 = 1, an elfenn neptu el lieskementiñ.

Aljebr Boole

Taolennoù al lezennoù HA ha PE
Lezenn HA a b a.b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1	Lezenn PE a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Gwir eo a.b pa vez gwir a HA b. Gwir eo a+b pa vez gwir a PE b.

Gant George Boole e voe ijinet jediñ gant argemmennoù reizhpoellek hag en un doare binarel : pe gwir ("1") pe ziwir ("0") eo pep argemm. An aljebr-se a implijer er jedoniezh, e skiant ar reizhpoell hag en elektronik. En domani diwezhañ-se e reer dre amredoù reizhpoellek HA ha PE, a zo an diazez da c'hreanterezh ar stlenn.
Ur benveg da dermeniñ kevreizhennoù a-benn diskouez poellatadurioù dre stadoù a zo liammet ouzh plegennoù resis eo aljebr Boole.
Da skouer : ur bellgomzadenn.

• Kemer al linenn (K) a c'haller ober mar klever (k) ur sonadenn HA (.) mar divizer respont (r), ar pezh a skriver K = k. r ; gwir eo K pa vez k hag r gwir ivez ; diwir eo mar ne glever ket PE (+) mar divizer na respont, da lavaret eo pa vez diwir k pe r, a skriver k + r.
• Kemer al linenn a c'haller ober ivez mar menner gervel, K = g, a zo gwir mard eo gwir g.

Neuze, K = k. r + g zo "kemer al linenn a reer mar klever ha ma responter, pe mar galver".

Dre liveoù tredan e vez graet 1 ha 0 en elektronik (1 dre +5 V, 0 dre 0 V, da skouer).

Un argemenn enep zo da bep argemmenn a, a skriver ā pe ¬(a) peurliesañ ; gwir eo ā pa vez diwir a. Gallout a reer neuze lakaat argemennoù enep en ur jedad aljebrel Boole, evel en ur jedad aljebrel linennek.
Da skouer : ne c'hallo Mari mont e kêr nemet mard eus trawalc'h ag arc'hant a ganti, mar n'he deus ket poelladennoù p da ober, mar n'eo ket Sul s ha mard eus ur bus b pe ur c'harr k evit distreiñ, ar pezh a skriver Y = a. ¬(p). ¬s. (b+k) digudenn.

Geriaoueg vrezhonek an aljebr

N'eo ket staliet da vat geriaoueg vrezhonek an aljebr, evel a welor en taolenn amañ a-is.
Pevar dave zo bet dibabet :

• Geriaoueg matematik TES (n'emañ ket an holl liveoù en linenn) ;
• Termofis
• Martial Ménard (2012), Dictionnaire français-breton, Palantines, ISBN 978-2-35678-069-0
• Geriadur brezhoneg An Here, An Here, 2001, ISBN 978-2-86843-236-0
• Francis Favereau (1992), Dictionnaire du breton contemporain/Geriadur ar brezhoneg a-vremañ, Skol Vreizh, ISBN 978-2-903313-41-8

TES	OaB	DFBMM	GBAH	DBCFF
algoritm, reoljediñ	algoritm	treol
anterin	anterin	kevan	anterin
aksiom	aksiomenn	aksiomenn	aksiomenn	aksiom
aritmetik	niveroniezh	niveroniezh	niveroniezh	aritmitik
arouez, sin	arouezenn	arouez, arouezenn	arouezenn	sin
	binarel	daouredel		eilveder
	binom	binom		daouad
		borc'hedel		bihan-netra
		derc'hel	(faltazius)	(diwar faltazi)
dianavenn	dianavenn	dianavenn	dianavenn
	diferañsial	orgemmel		difer
	digemmenn	arstalenn		dalc'henn
		dizave		absolud
egor, spas	egor	egor	egor, egorenn	spas
eilpennadusted		kantamsavadezh
eztaol	jedad	bomm, riñvenn
faktorañ	faktorelaat	periata	(faktor—)
elfennadur	faktoreladur	periatadur	(faktor—)
fonksion, kevreizhenn	fonksion	kevreizhenn
formulenn	formulenn	reollun	formulenn	formulenn
galloudad	galloudad	mac'h	galloudad	galloudegezh
	galloutaer	mac'her	gallouter
geometriezh, mentoniezh	mentoniezh	mentoniezh	mentoniezh	mentoniezh
	gwrizienn	bon	gwrizienn	gwrizienn
kartezian	kartezian	kartezel		kartezian
kemplez(ek), kompleks	kemplezh	kemplezh	(kemplezh)	(kemmesk)
kevatalenn	kevatalenn	atalad	atalad	"kevataladenn"
kevredennel	kevrennañ	rannel		rannel
liesad, lieskementad	liesad	liesad, liesadur	produ
lieselfenneg	polinom	polinom
linennek	linennek	linennek	linennel	linennek
	logaritm	logaritm		logaritm
	matris	oged
matematik	jedoniezh	jedoniezh	jedoniezh, matematik	matematikoù, "jedoniezh"
	neptu	neptu		neptu
niveradur dekvedennel	niveriñ dekvedennel	niveriñ dekredel	niveradur dekvedennel	nivererezh a-zegoù
negativel	leiel	leiel	(leiaat)	(nac'hus)
oberiadenn	oberiadur, oberiadenn	jedadur	oberiadur, jedadur	jedadenn
		pernion
plaen, plan, plañ	plaenenn	plaenenn	plaenenn	plaen
pozitivel	muiel	muiel		positiv
	real	gwerc'hel		real
relativel		daveel		keñverek, relativel
		stennadell
simetrek	simetrek	kemparzhek	simetrek	skwerek
strollad, tolp	stroll	stroll	stroll	stroll
talvoud	talvoud	gwerzh	talvoud	talvoud
	teskad	teskad	teskad	(h)ollad
	varienn	argemmenn	argemmenn
	vektor, sturiadell	sturiadell		vektor, lankad
zero	mann	mann	mann, zero	zero, mann