Ciało liczbowe

Ciało liczbowe – każde ciało będące skończonym rozszerzeniem algebraicznym ciała liczb wymiernych $\mathbb {Q} .$ Innymi słowy, jest to ciało zawierające $\mathbb {Q}$ jako podciało oraz którego wymiar jako przestrzeni wektorowej nad $\mathbb {Q}$ jest skończony.

Badanie własności ciał liczbowych jest głównym motywem algebraicznej teorii liczb.

Stopień, reprezentacja regularna, ślad i norma

Każde ciało liczbowe $K$ jest przestrzenią liniową nad $\mathbb {Q} ,$ które jest jego podzbiorem. Wymiar tej przestrzeni oznaczamy jako $[K:\mathbb {Q} ]$ i nazywamy stopniem rozszerzenia ciała $K,$ z zaznaczeniem, o ile to nie jest jasne z kontekstu, że chodzi o stopień rozszerzenia liczb wymiernych lub krótko stopień nad $\mathbb {Q} .$

Załóżmy, że $K$ jest ciałem liczbowym o stopniu rozszerzenia (nad $\mathbb {Q}$ ) równym $n.$ Ponieważ $K$ jest $n$ -wymiarową przestrzenią wektorową nad $\mathbb {Q} ,$ to możemy wybrać (na ogół na wiele sposobów) bazę $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\in K$ tej przestrzeni. Jak wiadomo z elementarnej algebry liniowej, każdy element $x\in K$ ma jednoznaczną reprezentację w tej bazie, tzn. jednoznacznie wyznaczony ciąg $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in \mathbb {Q}$ taki, że $x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\ldots +x_{n}e_{n}=x.$ Reprezentacja regularna elementu $x$ to macierz $A=\{a_{ij}\},$ która powstaje poprzez pomnożenie go przez poszczególne elementy bazy:

xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .

Łatwo pokazać, że dla dwóch elementów $x,y\in K$ i ich reprezentacji regularnych $A(x),A(y),$ zachodzi $A(xy)=A(x)A(y),$ tzn. mnożeniu elementów odpowiada mnożenie macierzy je reprezentujących. Ponadto można udowodnić, że niezmienniki owych macierzy, takie jak ślad i wyznacznik i wielomian charakterystyczny nie zależą od wyboru konkretnej bazy $\{e_{i}\},$ a tylko od elementu $x\in K.$ Tak więc możemy przyjąć poniższe definicje śladu i normy elementu ciała algebraicznego: