Conjectura de Ryu-Takayanagi
A conjectura de Ryu-Takayanagi é uma conjectura do campo da holografia que postula uma relação quantitativa entre a entropia de emaranhamento de uma teoria de campo conformal (CFT) e a geometria de um espaço-tempo anti-de Sitter (AdS) associado a ela.[1][2] A fórmula caracteriza "telas holográficas" a granel; ou seja, ela especifica quais regiões da geometria bruta são "responsáveis por informações específicas na teoria de campo conformal dual".[3] A conjectura leva o nome de Shinsei Ryu e de Tadashi Takayanagi, os quais publicaram o resultado conjuntamente em 2006.[4] Com isso, os autores receberam o Prêmio New Horizons in Physics de 2015 por "ideias fundamentais sobre entropia em teoria quântica de campos e gravidade quântica".[5] A fórmula foi generalizada para uma forma covariante em 2007.[6]
Motivação
[editar | editar código-fonte]A termodinâmica dos buracos negros sugere certas relações entre a entropia dos buracos negros e a sua geometria. Mais especificamente, a fórmula de área de Bekenstein-Hawking conjectura que a entropia de um buraco negro é proporcional à área superficial do seu horizonte de eventos:
A entropia de Bekenstein-Hawking é uma medida da informação perdida por observadores externos devido à presença do horizonte de eventos. O horizonte do buraco negro funciona como uma "tela" que define uma região do espaço-tempo (o exterior do buraco negro) que não é afetada por outra região (o interior do buraco negro). A lei da área de Bekenstein-Hawking afirma que a área dessa superfície é proporcional à entropia da informação perdida por trás dela.
A entropia de Bekenstein-Hawking é uma declaração sobre a entropia gravitacional de um sistema; no entanto, existe outro tipo de entropia que é importante na teoria da informação quântica: a entropia de emaranhamento (ou entropia von Neumann). Essa forma de entropia fornece uma medida de o quão distante de um estado puro um determinado estado quântico está, ou, equivalentemente, o quão emaranhado ele está. A entropia de emaranhamento é um conceito útil em muitas áreas, como na física da matéria condensada e em sistemas quânticos de muitos corpos. Dado seu uso e sua similaridade sugestiva com a entropia de Bekenstein-Hawking, é relevante ter uma descrição holográfica da entropia de emaranhamento em termos de gravidade.
Preliminares holográficas
[editar | editar código-fonte]O princípio holográfico afirma que as teorias gravitacionais em uma determinada dimensão são duais para uma teoria de gauge em uma dimensão inferior. A correspondência AdS/CFT é um exemplo dessa dualidade. Nesse caso, a teoria de campo é definida em um panorama fixo e é equivalente a uma teoria gravitacional quântica cujos diferentes estados correspondem a uma possível geometria do espaço-tempo. A teoria de campo conformal é frequentemente vista como estando presente no limite do espaço dimensional superior cuja teoria gravitacional ela define. O resultado dessa dualidade é um dicionário entre as duas descrições equivalentes. Por exemplo, em uma CFT definido num espaço de Minkowski d-dimensional, o estado de vácuo corresponde ao espaço AdS puro, enquanto o estado térmico corresponde a um buraco negro planar.[7] É importante destacar, ainda, que o estado térmico de uma CFT definido na esfera d-dimensional corresponde ao buraco negro de Schwarzschild (d+1)-dimensional no espaço AdS.
A lei da área de Bekenstein-Hawking, embora afirme que a área do horizonte do buraco negro é proporcional à entropia do buraco negro, falha em fornecer uma descrição microscópica autossuficiente de como essa entropia surge. O princípio holográfico fornece tal descrição relacionando o sistema de um buraco negro a um sistema quântico que admite tal descrição microscópica. Nesse caso, a CFT possui autoestados discretos e o estado térmico é o conjunto canônico desses estados.[7] A entropia desse conjunto pode ser calculada por métodos comuns e produz o mesmo resultado previsto pela lei de área, o que consiste num caso especial da conjectura de Ryu-Takayanagi.
Conjectura
[editar | editar código-fonte]Considere uma fatia espacial de um espaço-tempo AdS em cujo limite definimos a CFT dual. A fórmula Ryu-Takayanagi consiste em
-
(1)
em que é a entropia de emaranhamento da CFT em alguma subregião espacial com seu complemento e é a superfície Ryu-Takayanagi no volume total.[1] Essa superfície deve satisfazer três propriedades:[7]
- tem o mesmo limite que .
- é homóloga a .
- extremiza a área. Se houver múltiplas superfícies extremas, é a que tem a menor área.
Por causa da propriedade (3), essa superfície é normalmente chamada de superfície mínima quando o contexto é evidente. Além disso, a propriedade (1) garante que a fórmula preserve certas características da entropia de emaranhamento, como e . A conjectura fornece uma interpretação geométrica explícita da entropia de emaranhamento da CFT limite como a área de uma superfície no volume total.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]Em seu artigo original, Ryu e Takayanagi mostram esse resultado explicitamente para um exemplo em no qual uma expressão para a entropia de emaranhamento já é conhecida.[1] Para um espaço de raio , a CFT dual tem uma carga central dada por
-
(2)
Além disso, obedece à seguinte métrica:
em (essencialmente, uma pilha de discos hiperbólicos). Como essa métrica diverge em , é restrito a . Tal imposição de um máximo é análoga à correspondente limitação de UV na CFT. Sendo o comprimento do sistema CFT (nesse caso, a circunferência do cilindro calculada com a métrica apropriada) e o espaçamento da rede, tem-se
Neste caso, a CFT limite reside nas coordenadas . Considere um corte fixo e tome por a subregião do limite, sendo o comprimento de . Nesse caso, a superfície mínima é facilmente identificada, pois é apenas a geodésica através do volume total a qual conecta e . Lembrando o corte da rede, o comprimento da geodésica pode ser calculado por
-
(3)
Assumindo , pode-se usar a fórmula de Ryu–Takayanagi para calcular a entropia de emaranhamento. Subsituindo-se o comprimento da superfície mínima calculada em (3) e a carga central (2), a entropia de emaranhamento é dada por
-
(4)
Isso corrobora o resultado calculado por meios usuais.[8]
Referências
- ↑ a b c Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (21 de agosto de 2006). «Aspects of Holographic Entanglement Entropy». Journal of High Energy Physics. 2006 (8). 045 páginas. Bibcode:2006JHEP...08..045R. ISSN 1029-8479. arXiv:hep-th/0605073. doi:10.1088/1126-6708/2006/08/045
- ↑ Citação:
- ↑ Citação:
- ↑ Ryu, Shinsei; Takayanagi, Tadashi (maio de 2006). «Holographic Derivation of Entanglement Entropy from AdS/CFT». Phys. Rev. Lett. 96 (18). 181602 páginas. PMID 16712357. arXiv:hep-th/0603001. doi:10.1103/PhysRevLett.96.181602
- ↑ «Recipients of the 2015 Breakthrough Prizes in Fundamental Physics and Life Sciences Announced». www.breakthroughprize.org. Consultado em 3 de agosto de 2018
- ↑ Hubeny, Veronika E.; Rangamani, Mukund; Takayanagi, Tadashi (23 de julho de 2007). «A Covariant Holographic Entanglement Entropy Proposal». JHEP. 2007 (7). 062 páginas. arXiv:0705.0016. doi:10.1088/1126-6708/2007/07/062
- ↑ a b c Van Raamsdonk, Mark (31 de agosto de 2016). «Lectures on Gravity and Entanglement». New Frontiers in Fields and Strings. [S.l.: s.n.] pp. 297–351. ISBN 978-981-314-943-4. arXiv:1609.00026. doi:10.1142/9789813149441_0005
- ↑ Calabrese, Pasquale; Cardy, John (11 de junho de 2004). «Entanglement entropy and quantum field theory». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. P06002 (6): P06002. arXiv:hep-th/0405152. doi:10.1088/1742-5468/2004/06/P06002