Cykloida

Zakreślanie cykloidy

Cykloida – krzywa, jaką zakreśla punkt leżący na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej. Cykloidę można narysować za pomocą cykloidografu.

Równania

Cykloida

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci:

$x=r{\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}}$

$y=r{\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}},$

gdzie:

$t\in \mathbb {R} ,\ r>0.$

Rozwiązując równania ogólne dla $t,$ otrzymuje się:

$x=2\pi rk\pm \left(r\,\arccos \left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}\right),$

gdzie:

$k\in \mathbb {Z} ,\ r>0,\ 0\leqslant y\leqslant 2r.$

Własności

Cykloida jest też związana z zagadnieniem:

• krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy,
• krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.

Trochoida

Uogólnieniem zwykłej cykloidy jest trochoida (gr. trochós – koło, eídos – kształt).

Równania ogólne postaci:

$x=rt-c\cdot \sin t$

$y=r-c\cdot \cos t,$

gdzie:

$t\in \mathbb {R} ,\ r>0,\ c>0.$

Zależność odległości $c$ punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia $r$ tego koła jest następująca:

• dla $c<r$ trochoidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła (linia czerwona na poniższym rysunku),
• dla $c>r$ trochoidę wydłużoną, zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła (linia niebieska).
• dla $c=r$ zwykłą cykloidę, zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Zakreślanie trochoidy skróconej, c<r

Zakreślanie trochoidy wydłużonej, c>r

Zobacz też

• epicykloida
• hipocykloida
• traktrysa