Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych, czasem oznaczane różnicą zbiorów: $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$. Przykłady to:

• pierwiastek kwadratowy z dwóch (${\sqrt {2}}$);
• inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. ${\sqrt {99992}}$;
• liczba pi (π);
• podstawa logarytmu naturalnego (e);
• stała Gelfonda-Schneidera $2^{\sqrt {2}}$;
• ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$;
• $\log _{2}9$;
• stała Apéry’ego $A:=\zeta (3):=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych.

Dzieje badań

Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby ${\sqrt {2}}$. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem. Potem udowodniono niewymierność innych stałych:

stała	dowód niewymierności
	data	autor
e	1737	Leonhard Euler
π	1760	Johann Heinrich Lambert
$\zeta (3)$	1979	Roger Apéry

Własności

• Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny.
• Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne $a$ i $b,$ że liczba $a^{b}$ jest wymierna. Przykłady to:

${\sqrt {2}}^{\log _{2}9}=2^{{\frac {1}{2}}\log _{2}(3^{2})}=2^{\log _{2}3}=3,$

$({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{({\sqrt {2}}^{2})}=({\sqrt {2}})^{2}=2.$

• O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
• Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: ${\sqrt {2}}^{2}=2\in \mathbb {Q} ,{\sqrt {2}}^{3}=2{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$.
• Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
• Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ dając w efekcie przestrzeń zupełną.
• Jako podprzestrzeń linii prostej $\mathbb {R} ,$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$.

Zobacz też

• usuwanie niewymierności z mianownika
• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Gelfonda-Schneidera
• liczba przestępna
• niewspółmierność interteoretyczna

Linki zewnętrzne

• Ganesh Pai, Making sense of irrational numbers (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 23 maja 2016 [dostęp 2024-08-22].
• Can We Combine pi & e to Make a Rational Number?, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 13 kwietnia 2017 [dostęp 2024-08-29].