Discussion:Axiome de l'ensemble vide

Variations

J'ai remplacé ce § par une explication de la façon dont on déduit cet axiome de la compréhension (je crois que les autres variations n'ont pas trop d'intérêt maintenant). — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Proz (discuter), le 5 septembre 2006.

j'ai pas compris

A=(x/xapparient a A et x n'appartient pas a A) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 41.98.92.180 (discuter), le 17 juillet 2010.

Si ce que vous voulez dire est qu'au lieu de construire le vide par a={x ∈ y| x ≠ x} on aurait pu écire a={x ∈ a| x n'appartient pas à a}, ça ne marche pas : il y a un cercle vicieux par autoréférence. Par contre c'est vrai qu'on pourrait remplacer x ≠ x par x n'appartient pas à y.Anne Bauval (d) 17 juillet 2010 à 23:18 (CEST)

conséquence du schéma d'axiome de compréhension

Un point qui à mon avis mériterait d'être précisé : ce qui est une conséquence du schéma d'axiome est que s'il existe un ensemble, alors on peut former l'ensemble vide. En toute rigueur, si l'on admet uniquement le schéma d'axiome de compréhension (plus éventuellement certains axiomes de Z, ou autres), il peut très bien n'exister aucun ensemble, donc a fortiori pas d'ensemble vide. avis non signé laissé sous IP le 21 décembre 2012 à 15:29‎

Le point est que justement en logique du premier ordre les domaines d'interprétation sont le plus souvent non vides, syntaxiquement on peut introduire une variable qui désigne alors un ensemble. J'ai précisé en espérant que ce soit plus clair. Proz (d) 21 décembre 2012 à 19:46 (CET)

En effet dans la logique classique du premier ordre égalitaire dont ZF est une sur-théorie, exists x (x=x) est un thm. Ceci est moins une affirmation ontologique (qui n'existait pas dans la logique de Port-Royal, pour exemple) essentielle qu'une conséquence de règles qui simplifient le formalisme (d'autant que sur un domaine d'objet vide on a peu à dire ;-) ). Sinon clairement se déduit de ZF (notamment en utilisant l'ax de compréhension, mais pas lui seul ; flemme à réfléchir ) qu'il existe un ensemble dont l'ensemble vide, si vous avez un doute sur ce sujet. --Epsilon0 ε₀ 22 décembre 2012 à 00:05 (CET)

En logique du 1er ordre usuelle, le schéma de compréhension suffit, la démonstration (très simple) est donnée. Proz (d) 22 décembre 2012 à 01:36 (CET)

ah oui ok (peu réfléchi), mais la preuve est si simple que celle de l'article utilise le symbole d'égalité et dit l' ensemble vide ce qui suppose unicité et via l'axiome d’extensionnalité ;-). mais sans doute ce peut être plus rigoureusement dit en sacrifiant la simplicité. --Epsilon0 ε₀ 22 décembre 2012 à 02:02 (CET)

Il y a un point toutefois qui me chiffonne. Je suis l'auteur de la partie "axiome d'existence" (mon texte initial a été modifié depuis par autrui), et je ne m'y connais pas assez en théorie de logique du premier ordre ; toutefois, pour avoir lu les cours de Dehornoy (sur ladite logique), j'y ai vu des démonstrations par récurrence (ex. théorème de déduction : si T est une famille de formules propositionnelles, et F, G deux formules propositionnelles, alors "de T on déduit (F=>G)" équivaut à "(T union F) on déduit G". Or le théorème de récurrence est un théorème démontré par ZF avec l'axiome de l'infini, ainsi dire que ZF est une sur-théorie de la logique du premier ordre me semble "boucler". Alors que l'axiome d'existence permet d'être autonome ? Hdci15 (discuter) 22 avril 2022 à 11:45 (CEST)

Aucun rapport (question de théorie/meta-théorie). Proz (discuter) 21 mai 2024 à 12:18 (CEST)

Essayez de nier la formule suivante :

$\forall {x}\exists {y}(x\in y)$

On obtient donc (attention a l'ordre des lettres) :

$\exists {x}\forall {y}(x\notin y)$

Ce qui se traduirait par le fait qu'il existe un objet de la théorie mathématique qui n'est élément d'aucun ensemble. Diantre !

Si l'on part de l'axiome du singleton (qui est en fait l'axiome de la paire avec a=b) on a finalement quelque soit l'objet de la théorie mathématique $x$, l'existence un ensemble noté $\{x\}$ qui a pour (seul) élément $x$. Intuitivement on comprends bien que s'il n'existe pas d'ensemble c'est qu'il n'existe absolument rien et s'il n'existait rien, alors je ne serait pas là pour y penser ...

Plus sérieusement, l'existence d'ensemble n'est pas nécessaire axiomatique et découle essentiellement d'une sorte de "propriété conventionnelle" qui est de dire qu'un modèle d'une théorie est non-vide (en réalité rien ne l'empêche de l'être comme remarquer dans l'article), de sorte que la propriété $\forall {x}R\Rightarrow \exists {x}R$ soit toujours vraie. Mon propos sort du cadre purement formel, mais il est malgré tout important, je pense à considérer, en particulier lorsque l'on prend du recul sur le formalisme, que l'on approche la notion d'ensemble de manière plus élémentaire, intuitive, "dénombrable" voir fini et que l'on se rend bien compte que les "choses" existent, alors ces choses peuvent former des ensembles. En particulier, si les ensembles n'existaient pas comment même définir ce qu'est un modèle ? 2A01:CB1C:1145:700:CC14:EC19:DBD8:B91E (discuter) 13 mai 2024 à 15:09 (CEST)

Bonjour, je n'ai rien de précis à objecter à votre discours qui ne me semble pas dire de faussetés, mais quel est le rapport avec cette page de discussion ayant pour but d'améliorer l'article ? Aussi, si on sort de ce carcan où les pages de discussion ne sont pas des forums de discussion, avez-vous une opinion originale à formuler sur le sujet ? Car évidemment aucune personne connaissant ZF ne va tenter d'en nier un thm élémentaire. --Zyrle (discuter) 16 mai 2024 à 23:49 (CEST)

Parenthèses

Une syntaxe assez standard (Cori-lascar, Krivine, etc.) et cohérente est de ne pas parenthéser les formules atomiques. C'est celle utilisée dans calcul des prédicats. Ça devient vite illisible sinon dès que la formule est un peu longue (et il faut des simplifications de parenthèses supplémentaires). Il faut des espaces par contre. Proz (discuter) 19 mai 2024 à 02:21 (CEST)

Je comprends, on écrira ∃x ∀yR(y, x).

Mais je pense qu'il vaut mieux écrire ∃x ∀y (y R x).

Un risque à ne pas (prendre l'habitude de) parenthéser est de tomber dans des confusions comme ici. C'est ce que j'avais en tête.

Aussi à force d'abréger les formules on en vient à se trouver avec de nombreuses personnes connaissant le calcul des prédicats mais ne sachant pas que :

• $(\forall xPx\implies A)\Leftrightarrow \exists x(Px\implies A)$
• $(\exists xPx\implies A)\Leftrightarrow \forall x(Px\implies A)$

voir là. --Zyrle (discuter) 19 mai 2024 à 16:31 (CEST)

Tu penses peut-être ainsi mais l'égalité est infixe et n'est pas non plus parenthésée dans Cori-Lascar (livre introductif en biblio.) ou Krivine. Ce n'est pas une abréviation, c'est la définition syntaxique de base, et bien-sûr pas d'ambiguïté. Des définitions avec "parenthèse autour des formules atomiques" existent aussi, mais c'est plus rare. Proz (discuter) 19 mai 2024 à 17:27 (CEST)