Elementy minimalny i maksymalny

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P,\leqslant )$ nazywamy każdy taki element $x,$ że nie ma w $P$ elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

\forall y\in P:y\leqslant x\Rightarrow x=y.

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P,\leqslant )$ nazywamy każdy taki element $x,$ że nie ma w $P$ elementów większych od niego. Symbolicznie:

\forall y\in P:x\leqslant y\Rightarrow x=y.

Uwagi

W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element minimalny, to nie musi on być elementem najmniejszym.

Analogiczne własności ma element maksymalny.

Przykłady

Rozważmy zbiór $\mathbb {N}$ $\cup$ $\{-1\},$ gdzie $\mathbb {N}$ oznacza zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3,...}, a relacja $\preccurlyeq$ częściowego porządku określona jest następująco:

a\preccurlyeq b\iff (a\leqslant b,\,a,b\in \mathbb {N} \,\lor \,a=b=-1)

Z definicji wynika m.in., że

-1\preccurlyeq -1,\,\,3\preccurlyeq 7

i nieprawda, że np.

-1\preccurlyeq 2.

Jedynym elementem maksymalnym tej relacji jest −1, elementami minimalnymi są −1 oraz 1. W porządku tym nie ma elementu najmniejszego ani największego.

W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku ‘<’ zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:

„Białka” < „Dunajec” < „Wisła”

„Poprad” < „Dunajec” < „Wisła”

„Noteć” < „Warta” < „Odra”

„Moskwa” < „Oka” < „Wołga”

„Otava” < „Wełtawa” < „Łaba”

Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne). Elementami minimalnymi porządku są wszystkie rzeki, które nie mają dopływów, a elementu najmniejszego nie ma (byłaby nim rzeka wpadająca do każdej innej – bezpośrednio lub poprzez inny dopływ).

Uwaga: aby uznać ten przykład za poprawny model, należałoby przyjąć, że każda rzeka wpada do siebie samej.

Zobacz też