Loi du demi-cercle

	Loi du demi-cercle
	; Densité de probabilité
	; Fonction de répartition
Paramètres	, rayon
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance
Médiane
Mode
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Entropie
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi du demi-cercle ou loi du demi-cercle de Wigner est une loi de probabilité sur l'intervalle [-R,R] et dont le graphe de la densité de probabilité est un demi-cercle de rayon R, centré en 0 et convenablement renormalisé, ce qui en fait, en fait, une ellipse. En anglais, cette loi est nommée Wigner semicircle distribution, d'après le nom du physicien Eugene Wigner.

En théorie des nombres, la loi du demi-cercle est parfois appelée loi de Satō-Tate, voir la conjecture de Satō-Tate.

Cette loi apparait comme la loi limite des valeurs propres de beaucoup de matrices aléatoires quand la taille de la matrice tend vers l'infini.

Caractérisations

La densité de probabilité de la loi du demi-cercle est :

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\0.&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}

La fonction de répartition de la loi du demi-cercle est :

F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<-R,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}&{\hbox{ pour }}-R<x<R,\\1&{\hbox{ pour }}x>R.\end{cases}}

Pour tout entier n, le 2n-ième moment de la loi du demi-cercle est

E(X^{2n})=\left({R \over 2}\right)^{2n}C_{n}\,

où $C_{n}$ est le n-ième nombre de Catalan :

C_{n}={1 \over n+1}{2n \choose n}.

Ainsi les moments de la loi du demi-cercle sont les nombres de Catalan si $R=2$ . Par la propriété de symétrie, les moments d'ordre impair sont nuls.

En faisant la substitution $x=R\cos(\theta )$ dans la définition de la fonction génératrice des moments, on obtient :

M(t)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{Rt\cos(\theta )}\sin ^{2}(\theta )\,d\theta .

Cette équation peut être résolue (voir Abramowitz et Stegun §9.6.18) :

M(t)=2\,{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}

De manière similaire, la fonction caractéristique est donnée par :

\varphi (t)=2\,{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}

où $J_{1}(z)$ est la fonction de Bessel. (voir Abramowitz et Stegun §9.1.20).

Lorsque R tend vers 0, la loi du demi-cercle converge vers la distribution de Dirac.
La loi du demi-cercle est un cas particulier de la loi bêta renormalisée. Plus précisément, si Y est de loi bêta de paramètres $\alpha =\beta ={\frac {3}{2}}$ , alors $R(2Y-1)$ suit la loi du demi-cercle.
La loi du demi-cercle est la limite de la loi de Kesten-McKay lorsque son paramètre d tend vers l'infini.