Mesure de Dieudonné

La mesure de Dieudonné est un exemple de mesure borélienne (finie) sur un espace topologique compact à laquelle font défaut les propriétés usuelles de régularité : ce n'est pas une mesure de Radon.

L'exemple date de 1939, et est dû à Jean Dieudonné.

Définition

Soit $\Omega$ le premier ordinal non dénombrable et $X$ l'espace topologique $\Omega +1=[0,\Omega ]$ (muni de la topologie de l'ordre), qui est un espace compact.

On définit une fonction d'ensembles $\mu$ sur l'ensemble des parties de $X$ par :

• $\mu (A)=1$ si $A$ ∪ {$\Omega$} contient un compact non dénombrable ;
• $\mu (A)=0$ sinon.

La restriction de cette fonction d'ensembles à la tribu borélienne se révèle être une mesure de probabilité, qui ne prend que les valeurs 0 et 1 : la mesure de Dieudonné.

Justification du fait que μ est une mesure sur les boréliens

On peut montrer ceci en passant par les étapes intermédiaires suivantes :

Étape 1 : si $(K_{n})$ est une suite de compacts non dénombrables de $X$, leur intersection est également un compact non dénombrable.

Preuve : La compacité est claire, il faut montrer la non-dénombrabilité de l'intersection des $K_{n}$, ce qui revient à montrer qu'elle contient des ordinaux dénombrables arbitrairement grands. Soit $\alpha$ un ordinal dénombrable ; comme $K_{1}$ n'est pas dénombrable, on peut choisir un ordinal dénombrable $\alpha _{1}$ de $K_{1}$ supérieur ou égal à $\alpha$ ; de proche en proche on construit un $\alpha _{2}$ de $K_{2}$ supérieur ou égal à $\alpha _{1}$ puis toute une suite croissante d'ordinaux dénombrables où $\alpha _{3}$ est pris dans $K_{1}$, $\alpha _{4}$ dans $K_{2}$, $\alpha _{5}$ dans $K_{3}$, $\alpha _{6}$ dans $K_{1}$, $\alpha _{7}$ dans $K_{2}$, $\alpha _{8}$ dans $K_{3}$, $\alpha _{9}$ dans $K_{4}$, $\alpha _{10}$ dans $K_{1}$, $\alpha _{11}$ dans $K_{2}$, etc.

Cette suite croissante converge vers un ordinal dénombrable $\beta$ plus grand que $\alpha$. Pour chaque entier $n$, cet ordinal $\beta$ est limite d'une suite d'éléments du fermé $K_{n}$ et appartient donc à $K_{n}$. C'est ainsi un élément de leur intersection plus grand que $\alpha$.

Étape 2 : soit $B$ et $C$ deux parties de $X$. Si $\mu (B)=\mu (C)=1$, $B$ et $C$ se rencontrent.

Preuve : soit $K$ un compact non dénombrable inclus dans $B$ ∪ {$\Omega$} et $L$ un compact non dénombrable inclus dans $C$ ∪ {$\Omega$}. En appliquant l'étape 1 à la suite ($K$, $L$, $L$, $L$, ...), on trouve une infinité d'ordinaux éléments de $K$ ∩ $L$ mais pas égaux à $\Omega$ ; ce sont autant d'éléments de $B$ ∩ $C$.

Étape 3 : soit ℰ l'ensemble des parties $A$ de $X$ telles que $\mu (A)=1$ ou $\mu (X$\ $A)=1$. Cet ensemble ℰ est une tribu.

Preuve : la présence du vide et la stabilité par complémentaire sont claires, il convient de vérifier la stabilité par réunion dénombrable. Soit $(A_{n})$ une suite d'éléments de ℰ. Si l'un au moins vérifie $\mu (A_{n})=1$, il est clair que leur réunion aussi, donc qu'elle est dans ℰ ; le seul cas posant difficulté est ainsi celui où $\mu (A_{n})=0$ pour tout entier $n$. Par définition de ℰ, ceci entraîne que $\mu (X$\ $A_{n})=1$ pour chaque $n$, donc qu'il existe un compact non dénombrable $K_{n}$ inclus dans ($X$\ $A_{n})$ ∪ {$\Omega$}. En appliquant l'étape 1 à l'intersection de cette suite de compacts non dénombrables, on constate que le complémentaire de la réunion des $A_{n}$ est aussi un ensemble sur lequel $\mu$ vaut 1.

Étape 4 : la restriction de $\mu$ à la tribu ℰ est une mesure.

Preuve : Le point à vérifier est la σ-additivité. On va considérer une suite $(A_{n})$ d'éléments de ℰ deux à deux disjoints.

• Au vu de l'étape 2, il est impossible qu'il y ait plus d'un indice $n$ pour lequel $\mu (A_{n})=1$ ;

• S'il y a exactement un indice $n$ pour lequel $\mu (A_{n})=1$, l'additivité est évidente ;

• Supposons que $\mu (A_{n})=0$ pour tout $n$. La preuve de l'étape 3 a montré que le complémentaire de la réunion des $A_{n}$ était un ensemble sur lequel $\mu$ prenait la valeur 1 ; l'étape 2 prouve donc que sur la réunion des $A_{n}$, $\mu$ prend la valeur 0.

Étape 5 : tous les boréliens appartiennent à la tribu ℰ.

Preuve : la tribu borélienne étant engendrée par les fermés (c'est-à-dire ici les compacts), il suffit de montrer que tout compact est dans ℰ. On considère $K$, compact de $X$.

• Si $K$ n'est pas dénombrable, il contient un compact non dénombrable (lui-même !) et donc $\mu (K)=1$, ce qui prouve que $K$ est dans la tribu ℰ ;

• Si $K$ est dénombrable, il existe un ordinal dénombrable $\alpha$ strictement plus grand que tous les éléments de $K$ \ {$\Omega$}. La considération du compact non dénombrable $[\alpha ,\Omega ]$ montre alors que $\mu (X$\ $K)=1$, donc que $K$ est dans ℰ.

Propriétés

• La mesure de Dieudonné n'est pas extérieurement régulière : la mesure du singleton {$\Omega$} vaut 0, mais celle de tout ouvert le contenant vaut 1.
• Par passage au complémentaire sur cet exemple, on constate qu'elle n'est pas davantage intérieurement régulière : l'intervalle $[0,\Omega [$ est de mesure 1, mais tout compact contenu dans cet intervalle est de mesure nulle.
• La mesure de Dieudonné montre que des conditions relativement techniques de régularité sont incontournables dans l'énoncé du théorème de Riesz de représentation par une mesure, même sur un espace compact : sur l'espace des fonctions continues de $X$ vers R, la forme linéaire qui associe à chaque fonction $f$ la valeur $f$($\Omega$) peut être représentée comme l'intégrale de $f$ par rapport à la mesure de Dirac en $\Omega$, mais est aussi l'intégrale de $f$ par rapport à la mesure de Dieudonné.

Références

Sauf note spécifique, l'ensemble de l'article est issu de la consultation de (en) Vladimir Bogacev, Measure Theory, vol. 2, Berlin, Springer, 2007, 575 p. (ISBN 978-3-540-34513-8 et 3-540-34513-2, lire en ligne), p. 68-69.