Nerbo (matematica)

Nella teoria degli insiemi, il nerbo è un oggetto associato ad un ricoprimento. Si tratta di uno schema simpliciale che contiene le informazioni sulle incidenze degli insiemi del ricoprimento.

Tale concetto è particolarmente utile in topologia perché può permettere (se sono verificate opportune ipotesi) di descrivere con sufficiente precisione uno spazio topologico tramite un oggetto combinatorio.

Definizione

Dato un insieme $X$ e un suo ricoprimento

$\mathbb {U} =\left(U_{i}\right)_{i\in I}$

(I è una famiglia qualsiasi di indici), ossia una collezione di insiemi tali che

$\bigcup _{i\in I}U_{i}=X,$

il nerbo di $X$ è lo schema simpliciale associato allo spazio come segue: indicato con

$\mathbf {N} \left(\mathbb {U} \right)=\left(K,I\right)$

lo schema si ha

$\left\{i_{0},i_{1},\dots ,i_{k}\right\}\in K\Longleftrightarrow U_{i_{0}}\cap U_{i_{1}}\cap \dots \cap U_{i_{k}}\neq \varnothing .$

In topologia

Il concetto di nerbo risulta avere importanti applicazioni in topologia algebrica. In questo contesto, $X$ è uno spazio topologico e $\mathbb {U}$ è un suo ricoprimento aperto. Il nerbo dipende fortemente dal ricoprimento scelto. Tuttavia, se il ricoprimento è sufficientemente "buono" allora $\mathbf {N} \left(\mathbb {U} \right)$ risulta essere una buona approssimazione di $X$: ad esempio, può essere omotopicamente equivalente ad $X$, oppure avere la stessa omologia.

Voci correlate

• Ricoprimento
• Complesso simpliciale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Nerbo, su MathWorld, Wolfram Research.