Prawo rozpadu naturalnego

Zależność masy od czasu dla różnych stałych rozpadu.

Prawo rozpadu naturalnego – zależność określająca szybkość ubywania pierwotnej masy substancji zbudowanej z jednego rodzaju cząstek, która ulega naturalnemu, spontanicznemu rozpadowi.

Prawo ma zastosowanie w rozpadzie promieniotwórczym ciał, ale w ogólności dotyczy wielu procesów fizycznych.

Prawo to głosi, że jeśli prawdopodobieństwo rozpadu cząstek tworzących substancję jest dla każdej z nich jednakowe i niezależne oraz nie zmienia się w czasie trwania procesu rozpadu, to ubytek masy substancji w niewielkim odcinku czasu można wyrazić wzorem:

$\mathrm {d} m=-\lambda m\mathrm {d} t.$

Po scałkowaniu:

$m(t)=m_{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t},$

gdzie:

$m$ – masa substancji ulegającej rozpadowi,

$\lambda$ – stała rozpadu charakterystyczna dla danego izotopu lub substancji,

$t$ – czas,

$m_{0}$ – masa początkowa substancji, w momencie $t=0,$

$m(t)$ – masa substancji w czasie $t.$

We wzorze na prawo rozpadu zamiast stałej rozpadu $\lambda$ używana jest wielkość $\tau ={\frac {1}{\lambda }}$ zwana średnim czasem życia.

Czas po którym w stanie początkowym pozostaje połowa masy próbki $(m={\frac {1}{2}}m_{0})$ nazywa się czasem połowicznego rozpadu $(T_{\frac {1}{2}}).$

Co można wyrazić wzorem:

$\lambda T_{\frac {1}{2}}=\ln 2$

lub

$T_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}.$

Wzór na ilość pozostającej substancji można wyrazić:

$m(t)=m_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{T_{1/2}}}={\frac {m_{0}}{2^{\frac {t}{T_{1/2}}}}}=m_{0}2^{-{\frac {t}{T_{1/2}}}}.$

Masa cząstek, które się rozpadły od początku, czyli czasu $t=0,$ w którym masa była równa $m_{0},$ to:

$m_{0}-m(t)=m_{0}\left(1-\mathrm {e} ^{-\lambda t}\right).$

Masę cząstek, które się rozpadają w jednostce czasu, a więc szybkość rozpadania się (patrz aktywność promieniotwórcza), można przedstawić jako:

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=-\lambda m_{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t}=-\lambda m(t).$

W prawie rozpadu naturalnego w miejsce masy można używać inne wielkości mierzące ilość rozpadającego się czynnika, np. liczbę cząstek.

Prawo rozpadu naturalnego ma zastosowanie do cząstek elementarnych, jąder atomowych i substratów reakcji chemicznych, które zachodzą zgodnie z kinetyką pierwszego rzędu.

Prawo rozpadu naturalnego zastosowane do opisu zachowania izotopów promieniotwórczych znane jest jako prawo rozpadu promieniotwórczego lub prawo przemian promieniotwórczych a samo równanie jako równanie rozpadu promieniotwórczego.

Prawo to jest matematycznie identyczne z prawami opisującymi wiele innych procesów w fizycznych np.:

• stygnięcie ciała opisuje wówczas zmianę temperatury (prawo stygnięcia),
• rozładowanie kondensatora – ładunek elektryczny $q(t)$ na okładkach kondensatora.