Prosta Simsona

Prosta Simsona punktu $P$ względem trójkąta $ABC$ ^[1] – w planimetrii, dla danego punktu $P$ leżącego na okręgu opisanym na trójkącie $ABC,$ prosta, na której leżą rzuty prostokątne punktu $P$ na proste $BC,$ $AC$ i $AB$ ^[1].

Jej odkrycie przypisywane jest szkockiemu matematykowi, Robertowi Simsonowi, choć nie ma wzmianki o niej w żadnej jego pracy^[1]. Prosta ta bywa również nazywana prostą Wallace’a lub Wallace’a-Simsona od Williama Wallace’a, który jako pierwszy opublikował dowód jej istnienia w 1799 roku^[2].

Twierdzenie

Dany jest punkt $P$ leżący na okręgu opisanym na trójkącie $ABC.$ Rzuty prostokątne punktu $P$ na proste $BC,$ $AC$ i $AB$ oznaczmy odpowiednio przez $L,$ $M$ i $N.$ Wówczas punkty $L,$ $M$ i $N$ leżą na jednej prostej^[1]^[3].

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeśli punkty $L,$ $M$ i $N$ są współliniowe, to punkt $P$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ ^[1].

Zwięźlej, punkt $P$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego rzuty prostokątne na proste $BC,$ $AC$ i $AB$ leżą na jednej prostej^[4].

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d ^e DominikD. Burek DominikD., TomaszT. Cieśla TomaszT., O własnościach prostej Simsona, „Delta” (11/2016), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2016, s. 15-17, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).
↑ J JJ.J. O'Connor J JJ.J., E FE.F. Robertson E FE.F., William Wallace - Biography [online], University of St Andrews, 2005 [dostęp 2024-03-31] (ang.).
↑ S IS.I. Zetel S IS.I., Geometria trójkąta, Aksjomat Toruń, 2020, s. 55-56, ISBN 978-83-64660-96-2 (pol.).
↑ JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Prosta Simsona, „Delta” (10/2015), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2015, s. 25, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).

Linki zewnętrzne

MichałM. Kieza MichałM., O prostej Simsona raz jeszcze, „Delta”, wrzesień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] .

[:0-1] DominikD. Burek DominikD., TomaszT. Cieśla TomaszT., O własnościach prostej Simsona, „Delta” (11/2016), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2016, s. 15-17, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).

[2] J JJ.J. O'Connor J JJ.J., E FE.F. Robertson E FE.F., William Wallace - Biography [online], University of St Andrews, 2005 [dostęp 2024-03-31] (ang.).

[3] S IS.I. Zetel S IS.I., Geometria trójkąta, Aksjomat Toruń, 2020, s. 55-56, ISBN 978-83-64660-96-2 (pol.).

[4] JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., Prosta Simsona, „Delta” (10/2015), Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2015, s. 25, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31] (pol.).

[1]

[2]

[3]

[4]