Tensori

Tensori on matemaattinen objekti lineaarialgebrassa, joka yleistää skalaarin, vektorin, matriisin ja bilineaarisen muodon käsitteet. Skalaari on 0. kertaluvun tensori, vektori 1. kertaluvun tensori, matriisi on toisen kertaluvun tensori, ja korkeammat lineaarikuvauksia.

Tensorit voidaan kirjoittaa koordinaatistojen avulla tai taulukkoesityksen muodossa, mutta ne on määritelty esitystavasta riippumatta. Ne ovat niin sanottuja multilineaarikuvauksia vektoriavaruudelta kerroinkunnalle.

Tensorit on määritelty siten, että niiden ominaisuudet säilyvät koordinaatistojen tavallisissa muunnoksissa. Tästä seuraa, että tensorit ovat tärkeitä fysiikassa ja teknisillä aloilla. Erityisesti niihin törmää yleisessä suhteellisuusteoriassa, lujuusopissa ja virtausdynamiikassa. Tensorilaskennan tutkiminen muodostaa osan niin sanotusta multilineaarisesta algebrasta.

Monia fysikaalisia suureita on luonnollista tarkastella kahden vektorijoukon välisinä vastaavuuksina. Tensorin käsitteen ottivat käyttöön Bernhard Riemann ja Elwin Bruno Christoffel, ja sitä kehittivät edelleen Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Heidän tavoitteenaan oli muotoilla differentiaalimuuttujan differentiaaligeometriset ominaisuudet Riemannin kaarevuustensorin avulla.

Tensorin klassinen määrittely

Tensori on usein käytännöllistä ja havainnollista määritellä suureena, joka muuntuu mielivaltaisessa koordinaatistomuunnoksessa tietyllä tavalla. Määrittelyssä voidaan esimerkiksi käyttää muunnosta karteesisesta koordinaatistosta pallokoordinaatistoon. Koordinaattimuunnos myös näyttää hyvin, mikä ero on tensorilla ja skalaarilla. Tässä lähestymistavassa uudet (siis muunnoksen jälkeiset) koordinaatit merkitään yläviivalla (${\bar {x}}^{i}$), ja alkuperäiset koordinaatit ilman viivaa ($x^{i}\,$). Einsteinin summaussääntöä käyttäen:

Yleinen tensori voidaan kirjoittaa muodossa

$T_{\left[j_{1},j_{2},j_{3},...j_{m}\right]}^{\left[i_{1},i_{2},i_{3},...i_{n}\right]}$,

missä ylemmät indeksit [$i_{1},i_{2},i_{3},...i_{n}$] ovat tensorin kontravariantit komponentit ja alaindeksit [$j_{1},j_{2},j_{3},...j_{m}$] sen kovariantit komponentit. Tensorin indeksien lukumäärä kertoo kontra- ja kovarianttien komponenttien lukumäärän. Yllä $T$:llä on $n$ kontra- ja $m$ kovarianttia komponenttia. Erityisesti, jos tensorilla on vain jompiakumpia indeksejä, puhutaan kertaluvusta. Esimerkiksi tensori

$T^{ij}\,$

on toisen kertaluvun kontravariantti tensori. Yleisessä koordinaatistomuunnoksessa se muuntuu

${\bar {T}}^{ij}=T^{rk}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{r}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{k}}}.$

Vastaavasti esimerkiksi kolmannen kertaluvun kovariantti tensori muuntuu

${\bar {T}}_{ijk}=T_{mnr}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}.$

Nämä muunnoskaavat yleistyvät suoraan sekatensoreille. Esimerkiksi tensori, jolla on yksi kovariantti- ja kaksi kontravarianttia komponenttia muuntuu luonnollisesti

${\bar {T}}_{k}^{ij}=T_{r}^{mn}{\frac {\partial {\bar {x}}^{i}}{\partial x^{m}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial {x}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {\bar {x}}^{k}}}.$

Tensori siis säilyttää aina muotonsa, mikä tekee niistä ilmaisuvoimaisen työkalun erilaisissa tilanteissa. Erityisesti kannattaa huomata, että tapauksessa, jossa indeksejä on vain yksi, tensorin määritelmät yhtyvät vastaavan vektorin muunnoskaavoihin. Vektorit ovat siis ensimmäisen kertaluvun tensoreita. Jos indeksejä ei ole yhtään, kaikki derivaatat häviävät eikä koordinaatistomuunnos muuta suuretta lainkaan. Tällöin kyseessä on skalaari.

Tensorisuureet

Tensorisuureella tarkoitetaan fysiikassa ja teknillisillä aloilla suuretta, jonka arvo riippuu mittaussuunnasta. Tensorisuureet laajentavat skalaarisuureita (jotka ovat ”paljaita lukuja”, esimerkiksi lämpötila) sekä vektorisuureita (joissa suuruuteen liittyy myös suunta, esimerkiksi nopeus).

Tyypillisiä tensorisuureita ovat anisotropiaan liittyvät suureet kuten sähkönjohtavuus ja lämmönjohtavuus sekä jatkumomekaniikan suureet jännitys ja venymä. Kerrokselliselle materiaalille on tyypillistä esimerkiksi, että sähkönjohtavuus on korkeampi kerrosmyötäisessä suunnassa kuin sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Toisaalta esimerkiksi yksiakselisessa puristuksessa jännitys on suurin puristusta vastaan kohtisuorassa tasossa ja pienenee, kun tason normaalin ja puristuksen välinen kulma kasvaa.

Katso myös

• Vektori
• Metrinen tensori
• Einsteinin kenttäyhtälöt

Kirjallisuutta

• Spiegel, Murray R.: Vector Analysis and an introduction to Tensor Analysis. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 1974 (1959). ISBN 978-0070990098

Aiheesta muualla

• NASAn julkaisema johdanto tensoreihin fysiikan ja teknillisten alojen opiskelijoille (PDF) (englanniksi)
• Johdanto tensoreihin ja yleiseen suhteellisuusteoriaan (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)