Usuwanie niewymierności z mianownika

Usuwanie niewymierności z mianownika – przekształcenie wyrażenia arytmetycznego będącego ułamkiem tak, aby w mianowniku znalazła się liczba wymierna.

Przykłady

Ilustracja wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych: $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.$ Wzór ten bywa używany do usuwania niewymierności z mianowników.

Niektóre problemy tego typu można rozwiązać wzorami skróconego mnożenia, np. wzorem na różnicę kwadratów:

${\begin{aligned}{\frac {2}{{\sqrt {11}}-3}}&={\frac {2({\sqrt {11}}+3)}{({\sqrt {11}}-3)({\sqrt {11}}+3)}}=\\&={\frac {2({\sqrt {11}}+3)}{11-3^{2}}}={\frac {2(3+{\sqrt {11}})}{2}}=\\&=3+{\sqrt {11}}.\end{aligned}}$

W przypadku pierwiastków trzeciego stopnia można skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów:

${\begin{aligned}{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}-2}}&={\frac {{\sqrt[{3}]{9}}^{2}+2{\sqrt[{3}]{9}}+2^{2}}{({\sqrt[{3}]{9}}-2)({\sqrt[{3}]{9}}^{2}+2{\sqrt[{3}]{9}}+2^{2})}}=\\&={\frac {{\sqrt[{3}]{3^{4}}}+2{\sqrt[{3}]{9}}+4}{9-2^{3}}}=\\&=4+3{\sqrt[{3}]{3}}+2{\sqrt[{3}]{9}}.\end{aligned}}$

Pokrewne problemy

Metody używane do usuwania niewymierności z mianownika są też używane w algebrze i analizie, np. do:

• dzielenia liczb zespolonych;
• obliczania granic funkcji przez usuwanie pierwiastków z mianowników wyrażeń algebraicznych.

Zobacz też

• pierwiastnik
• liczby algebraiczne
• liczby przestępne

Bibliografia

• Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha, Dorota Ponczek, Jolanta Wesołowska: Matematyka 2. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum. Wydawnictwo Nowa Era, 2020. ISBN 978-83-267-3900-2.

Linki zewnętrzne

• Usuwanie niewymierności z mianownika, Uniwersytet Śląski w Katowicach – kanał na YouTube, 3 marca 2014 [dostęp 2024-08-28].
• Piotr Stachura, Usuwanie niewymierności z mianownika, kanał Khan Academy na YouTube, 26 czerwca 2014 [dostęp 2024-08-28].
• Rationalizing the denominator (ang.), Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-08-28].
• Przykład usuwania niewymierności (ang.) przez program Wolfram Alpha, wolframalpha.com [dostęp 2024-08-28].