Przejdź do zawartości

Dwumian Newtona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Dwumian Newtona, wzór dwumianowy, wzór dwumienny, wzór Newtona – tożsamość algebraiczna opisująca potęgę dwumianu jako sumę jednomianów postaci Jeśli wykładnik jest liczbą naturalną, to w każdym z tych jednomianów:

  • wykładniki przy oraz sumują się do
  • współczynniki są dodatnimi liczbami naturalnymi, znanymi jako współczynniki dwumianowe i opisane symbolami Newtona.

Nazwa wzoru pochodzi od nazwiska Isaaca Newtona, który w 1676 roku uogólnił go na wykładniki ujemne i ułamkowe[1]. Poprawność tego uogólnienia udowodnił w XIX wieku Niels Henrik Abel[2].

Wykładnik naturalny

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]
Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu można rozłożyć na sumę postaci

gdzie oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując (także w przypadku, gdy lub ), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

Uwagi
  1. W szczególności dla lub dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona
  2. Współczynniki dwumianowe są elementami wiersza w trójkącie Pascala.
Przykłady

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla jest

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego Wtedy dla mamy

co kończy dowód.

Uogólnienie

[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wzór na ogólniejsze potęgi sumy gdzie są rzeczywiste, oraz a wykładnik jest rzeczywisty lub zespolony. Wzór ten zawiera uogólniony symbol Newtona[potrzebny przypis]:

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane matematykom żyjącym przed nim:

Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i trójkąt Pascala znali[5]:

  1. W ogólności łączność pierścienia można zastąpić alternatywnością.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. dwumian Newtona, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-07].
  2. Grzegorz Łukaszewicz, Baruch Spinoza i matematyka, „Delta”, styczeń 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10].
  3. Eric W. Weisstein, Binomial Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
  4. J. L. Coolidge, The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), s. 147–157.
  5. James A. Landau: Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal’s Triangle. [w:] Archives of Historia Matematica [on-line]. 1999-05-08. [dostęp 2007-04-13].