Przejdź do zawartości

Funkcja Weierstrassa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres funkcji Weierstrassa w przedziale
Funkcja Weierstrassa z parametrami w przedziale

Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstraßa.

Tło historyczne

[edytuj | edytuj kod]

Wielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.

Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstraßa.

Konstrukcja funkcji Weierstrassa

[edytuj | edytuj kod]

W oryginalnej publikacji[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako

gdzie jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek

Wykres funkcji Weierstrassa

[edytuj | edytuj kod]

Gdy to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi

Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.

Dziedzina zespolona

[edytuj | edytuj kod]

Znalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
  2. Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 187. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
  3. A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.
  4. B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
  5. Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]