Punkt nieciągłości

Wykres funkcji gamma Eulera (Γ) w dziedzinie zespolonej. W punktach całkowitych niedodatnich ($z\in \mathbb {Z} _{\leq 0}$) ma ona nieusuwalne, odosobnione nieciągłości.

Wykres funkcji sinc. Jest ona ciągła, ponieważ nieciągłość funkcji (sin x)/x jest usuwalna i odosobniona.

Wykres funkcji signum, w punkcie x=0 nieciągłej w sposób odosobniony, nieusuwalny i pierwszego rodzaju (zwyczajny), konkretniej skokowy.

Punkt nieciągłości, nieciągłość – punkt w dziedzinie funkcji, w którym nie jest ciągła. Czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element.

Rodzaje

Wyróżnia się kilka przenikających się odmian nieciągłości. Co najmniej dwie z nich są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi:

• punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągła. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.
• Jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną.

Dodatkowe rodzaje nieciągłości definiuje się dla funkcji zmiennej rzeczywistej ($f:X\rightarrow Y,X\subseteq \mathbb {R}$):

• Punkt nieciągłości $p$ nazywa się nieciągłością zwyczajną lub pierwszego rodzaju, jeśli istnieją skończone granice jednostronne funkcji (lewostronna $\lim _{x\to p-}f(x)$ oraz prawostronna $\lim _{x\to p+}f(x)$). Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne; w tym wypadku mówi się też o nieciągłości skokowej lub skoku funkcji, choć ten drugi termin oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi.

• O nieciągłości drugiego rodzaju mówi się, jeśli w danym punkcie skończone granice jednostronne nie istnieją. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona. W tym kontekście również mawia się o nieciągłości skokowej – jeśli obie granice są nieskończone i różne lub jedna jest skończona, a druga nie.

Twierdzenia

Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej ($f:X\rightarrow Y,X,Y\subseteq \mathbb {R}$):

• Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokowe.
• Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych.
• Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie ograniczoną funkcją mierzalną. Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 12. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
• Andrzej Schinzel: Wacław Sierpiński. Wydawnictwo Iskry, 1976, seria: Współczesne życiorysy Polaków.

Literatura dodatkowa

• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 270–271.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Removable Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jump Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].