Podstawa logarytmu naturalnego , liczba
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
, liczba Eulera , liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1]
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
[2]
Liczba
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
Jako granica ciągu ,
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
.
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}.}
Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg
{
a
n
}
n
∈
N
,
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },}
a
n
=
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}
niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny .
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb
x
1
,
…
,
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n+1}}
nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną :
x
1
+
…
+
x
n
+
1
n
+
1
⩾
(
x
1
⋅
…
⋅
x
n
+
1
)
1
/
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n+1}}{n+1}}\geqslant (x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n+1})^{1/(n+1)}.}
(1)
Rozważając
x
1
=
…
=
x
n
=
1
+
1
n
{\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}}
x
n
+
1
=
1
,
{\displaystyle x_{n+1}=1,}
1
+
1
n
+
…
+
1
+
1
n
+
1
n
+
1
⩾
(
(
1
+
1
n
)
…
(
1
+
1
n
)
⋅
1
)
1
/
(
n
+
1
)
,
{\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{n}}+\ldots +1+{\tfrac {1}{n}}+1}{n+1}}\geqslant \left((1+{\tfrac {1}{n}})\ldots (1+{\tfrac {1}{n}})\cdot 1\right)^{1/(n+1)},}
a stąd
(
n
+
2
n
+
1
)
n
+
1
⩾
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left({\tfrac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}
(
1
+
1
n
+
1
)
n
+
1
⩾
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}
a
n
+
1
⩾
a
n
.
{\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}.}
Czyli ciąg
(
a
n
)
n
{\displaystyle (a_{n})_{n}}
Podłóżmy
b
n
=
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle b_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n+1}}
a
n
⩽
b
n
=
1
(
n
n
+
1
)
n
+
1
=
1
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
.
{\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}={\frac {1}{\left({\tfrac {n}{n+1}}\right)^{n+1}}}={\frac {1}{\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}}}.}
Z nierówności (1) zastosowanej do
x
1
=
…
=
x
n
+
1
=
1
−
1
n
+
1
{\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n+1}=1-{\tfrac {1}{n+1}}}
x
n
+
2
=
1
{\displaystyle x_{n+2}=1}
1
−
1
n
+
1
+
…
+
1
−
1
n
+
1
+
1
n
+
2
⩾
(
(
1
−
1
n
+
1
)
…
(
1
−
1
n
+
1
)
⋅
1
)
1
/
(
n
+
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1-{\frac {1}{n+1}}+\ldots +1-{\frac {1}{n+1}}+1}{n+2}}\geqslant \left(\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\ldots \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\cdot 1\right)^{1/(n+2)}.}
Stąd
(
n
+
1
n
+
2
)
n
+
2
⩾
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
,
{\displaystyle \left({\tfrac {n+1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1},}
(
1
−
1
n
+
2
)
n
+
2
⩾
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
.
{\displaystyle \left(1-{\tfrac {1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}.}
Czyli ciąg
(
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
)
n
∈
N
{\displaystyle {\Big (}(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{n+1}{\Big )}_{n\in \mathbb {N} }}
b
n
=
1
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
,
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(1-{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}},}
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
a
1
⩽
a
2
⩽
…
⩽
a
n
⩽
b
n
⩽
…
⩽
b
2
⩽
b
1
.
{\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant \ldots \leqslant b_{2}\leqslant b_{1}.}
Ciąg
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
b
1
{\displaystyle b_{1}}
Jako suma szeregu ,
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
…
,
{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots ,}
gdzie
n
!
{\displaystyle n!}
silnią liczby
n
.
{\displaystyle n.}
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1 Liczbę
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
liczbę rzeczywistą taką że:
∫
1
e
1
t
d
t
=
1
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\mathrm {e} }{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t={1}}
(to znaczy, że liczba
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
pole powierzchni pod hiperbolą
f
(
t
)
=
1
/
t
{\displaystyle f(t)=1/t}
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
Wykres funkcji
f
(
x
)
=
x
1
/
x
{\displaystyle f(x)=x^{1/x}}
Liczbę
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
f
(
x
)
=
x
1
/
x
,
x
>
0
{\displaystyle f(x)=x^{1/x},\quad x>0}
dla którego jej wartość jest największa.
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler ), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”[3] Adolf Hurwitz w 1894[4]
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
funkcji wykładniczej , że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
pochodna funkcji
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (\mathrm {e} ^{x})'=\mathrm {e} ^{x}}
całka funkcji
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
,
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C,}
C jest dowolną stałą całkowania .
z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
odwrotną do logarytmu naturalnego :
ln
e
x
=
x
{\displaystyle \ln \mathrm {e} ^{x}=x}
e
ln
x
=
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln x}=x}
Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jednostką urojoną
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
,
π
{\displaystyle \mathrm {\pi } }
jednością i zerem :
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i\pi } }+1=0}
e
=
lim
n
→
∞
n
n
!
n
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
e
=
lim
n
→
∞
n
⋅
(
2
π
n
n
!
)
1
/
n
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}
(oba to tzw. wzory Stirlinga)
e
=
lim
n
→
∞
n
!
!
n
,
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}},}
gdzie
!
n
{\displaystyle !n}
podsilnia , definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru
n
{\displaystyle n}
!
n
=
n
!
(
1
−
1
1
!
+
1
2
!
−
1
3
!
+
…
+
(
−
1
)
n
1
n
!
)
{\displaystyle !n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)}
e
=
lim
n
→
∞
(
(
n
+
1
)
n
+
1
n
n
−
n
n
(
n
−
1
)
n
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left({\rm {}}{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right)}
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
2
3
+
3
⋱
{\displaystyle \mathrm {e} =2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {2}{3+{\frac {3}{\ddots }}}}}}}}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
]
−
1
{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
1
−
2
k
(
2
k
)
!
]
−
1
{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}
e
=
1
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
k
!
{\displaystyle \mathrm {e} ={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
e
=
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {e} =2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
3
−
4
k
2
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
(
3
k
)
2
+
1
(
3
k
)
!
{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
4
k
+
3
2
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
]
2
{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}
e
=
[
−
12
π
2
∑
k
=
1
∞
1
k
2
cos
(
9
k
π
+
k
2
π
2
−
9
)
]
−
1
/
3
{\displaystyle \mathrm {e} =\left[{\frac {-12}{\mathrm {\pi } ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\mathrm {\pi } +{\sqrt {k^{2}\mathrm {\pi } ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
2
2
(
k
!
)
{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}
Tę sekcję należy dopracować: znaleźć źródła tych wzorów. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji . Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.
e
=
2
⋅
4
3
⋅
6
⋅
8
5
⋅
7
4
⋅
10
⋅
12
⋅
14
⋅
16
9
⋅
11
⋅
13
⋅
15
8
…
=
2
⋅
∏
n
=
1
∞
∏
i
=
1
2
n
−
1
(
2
n
+
2
i
)
∏
i
=
1
2
n
−
1
(
2
n
+
2
i
−
1
)
2
n
{\displaystyle \mathrm {e} =2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\ldots =2\cdot \prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i)}{\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i-1)}}}}
2
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
2
…
2
ln
(
2
)
−
1
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
3
…
=
∏
n
=
0
∞
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
2
n
−
(
ln
(
2
)
−
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle {\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\ldots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\ldots }}=\prod _{n=0}^{\infty }2^{(\ln(2)-1)^{2n}-(\ln(2)-1)^{2n+1}}}
W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[5] [6]
e
=
2
(
2
1
)
1
/
2
(
2
3
4
3
)
1
/
4
(
4
5
6
5
6
7
8
7
)
1
/
8
…
=
2
∏
n
=
1
∞
[
(
2
n
−
1
−
1
)
!
!
]
2
[
(
2
n
)
!
!
]
2
[
(
2
n
−
1
)
!
!
]
2
[
(
2
n
−
1
)
!
!
]
2
2
n
,
{\displaystyle \mathrm {e} =2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\ldots =2\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {[(2^{n-1}-1)!!]^{2}[(2^{n})!!]^{2}}{[(2^{n-1})!!]^{2}[(2^{n}-1)!!]^{2}}}},}
gdzie n!! , to silnia podwójna .
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
π ), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym
e
:
{\displaystyle \mathrm {e} {:}}
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0. Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa ) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć
(
1
+
1
2
)
2
,
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{2},}
(
1
+
1
4
)
4
,
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{4}}\right)^{4},}
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
Używamy
n
{\displaystyle n}
e
,
{\displaystyle \mathrm {e} ,}
e
n
:
{\displaystyle e_{n}{:}}
e
n
=
∑
k
=
0
n
1
k
!
{\displaystyle e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}}
Szacujemy błąd
e
−
e
n
=
∑
k
=
n
+
1
∞
1
k
!
=
1
(
n
+
1
)
!
⋅
(
1
+
1
n
+
2
+
1
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
+
…
)
<
1
(
n
+
1
)
!
⋅
(
1
+
1
n
+
1
+
1
(
n
+
1
)
2
+
…
)
=
1
(
n
+
1
)
!
⋅
1
1
−
1
n
+
1
=
1
n
!
⋅
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} -e_{n}&=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\\&={\frac {1}{(n+1)!}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}}+\ldots \right)\\&<{\frac {1}{(n+1)!}}\cdot \left(1+{\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+\ldots \right)\\&={\frac {1}{(n+1)!}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{n+1}}}}={\frac {1}{n!\cdot n}}\end{aligned}}}
Z tego wynika, że
e
=
e
n
+
θ
n
!
⋅
n
=
∑
k
=
0
n
1
k
!
+
θ
n
!
⋅
n
,
{\displaystyle \mathrm {e} =e_{n}+{\frac {\theta }{n!\cdot n}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}+{\frac {\theta }{n!\cdot n}},}
0
<
θ
<
1.
{\displaystyle 0<\theta <1.}
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
liczbą wymierną . Czyli da się ją przedstawić w postaci
p
q
{\displaystyle {\frac {p}{q}}}
p
,
q
∈
Z
,
q
≠
0.
{\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0.}
W tym wzorze bierzemy tak duże
n
,
{\displaystyle n,}
q
.
{\displaystyle q.}
Wówczas:
p
q
=
∑
k
=
0
n
1
k
!
+
θ
n
!
⋅
n
.
{\displaystyle {\frac {p}{q}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}+{\frac {\theta }{n!\cdot n}}.}
Mnożąc stronami przez
n
!
{\displaystyle n!}
p
⋅
n
!
q
=
∑
k
=
0
n
n
!
k
!
+
θ
n
{\displaystyle p\cdot {\frac {n!}{q}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}+{\frac {\theta }{n}}}
n
!
q
∈
Z
,
{\displaystyle {\frac {n!}{q}}\in \mathbb {Z} ,}
p
⋅
n
!
q
∈
Z
{\displaystyle p\cdot {\frac {n!}{q}}\in \mathbb {Z} }
n
!
k
!
∈
Z
,
{\displaystyle {\frac {n!}{k!}}\in \mathbb {Z} ,}
∑
k
=
0
n
n
!
k
!
∈
Z
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}\in \mathbb {Z} }
Zostały same liczby całkowite poza
θ
n
,
{\displaystyle {\frac {\theta }{n}},}
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
↑ Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ↑ e Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-29] .↑ Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle . C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
↑ A. Hurwitz, 1894, Dowód przestępności liczby e. pdf .
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Pippenger Product MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2013-02-27] (ang. ) .↑ Nick Pippinger. An Infinite Product for e . „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980. (ang. ) . Karol K. Gryszka Karol K. , Stała Eulera w trójkącie Pascala Delta ”, marzec 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-03-15] .Ciągi liczbowe cz. V – Liczba Eulera Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego , kanał „Uczelnia WAT” na YouTube , 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , e MathWorld , Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .e w rozwinięciu(ang. ) Najważniejsze stałe
Inne stałe
Tematy powiązane
![{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/49279a86355d96badab0253ac36914cade04e9f5)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb210850621721d19087f48660ae67f801a796b)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/629c44650354eb42f23e2761ae7fcc561f3bacbe)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eaaf7b65406396301750d462661e69822c12bc)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[{\frac {-12}{\mathrm {\pi } ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\mathrm {\pi } +{\sqrt {k^{2}\mathrm {\pi } ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/43400f79a28ebaa79705e99ab8e8bb6d1289089a)
![{\displaystyle \mathrm {e} =2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\ldots =2\cdot \prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i)}{\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i-1)}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47f53951a85734c422aa9a777fcb13274d757f4)
![{\displaystyle \mathrm {e} =2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\ldots =2\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {[(2^{n-1}-1)!!]^{2}[(2^{n})!!]^{2}}{[(2^{n-1})!!]^{2}[(2^{n}-1)!!]^{2}}}},}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b07d1b84e3bd3878c98f091ca0522bf3c09d86)
Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. V – Liczba Eulera, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].